제 2 코사인 법칙의 기하학적 설명

제 2 코사인 법칙의 기하학적 설명

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대한수학교육학회 논문집 1997 7월 임 재 훈 발제자 : 조 희 선 I. 서론     △ ABC의 세 변을 , 세 각을 라 할 때, 세 변과 한 각 사이의 관계를 나타내는 다음과 같은 공식을 제 2 코사인 법칙이라 한다. a²= b²+ c²- 2bc cosA, b²= a²+ c²-2ac cosB, c²= a²+ b²- 2ab cosC 제 2 코사인 법칙은 제 1 코사인 법칙에 몇 가지 간단한 대수적 조작을 하면 바로 유도된다.(고등학교 교과서에서 증명 방법으로 이용하고 있다.) a = b cosC + c cosB‥①, b = c cosA + a cosC‥②, c = a cosB + b cosA‥③ 여기서 ① ×a : a²= ab cosC + ca cosB‥④,            ② ×b : b²= bc cosA + ab cosC‥⑤, ③ ×c : c²= ca cosB + bc cosA‥⑥ ⑤+⑥-④ : b²+ c²- a²= 2bc cosA ∴a²= b²+ c²- 2bc cosA ④+⑥-⑤ : ∴ b²= a²+ c²- 2ac cosB ④+⑤-⑥ : ∴ c²= a²+ b²- 2ab cosC 사인 법칙이나 제 1 코사인 법칙의 경우 그림을 통해 법칙의 의미를 기하학적인 관점에서 이해하도록 하고 있는데, 제 2 코사인 법칙의 경우 그림을 제시하지 않는 이유는 과연 무엇일까? II. 제 2 코사인 법칙에 기하학적 설명을 제공하지 않는 이유 첫째, 제 2 코사인 법칙이 제 1 코사인 법칙으로부터 깨끗이 유도될 수 있다는 점 때문 둘째, 제 2 코사인 법칙의 기하학적 의미를 보여주는 그림 중에, 학생들이 쉽게 이해할 만한 마땅한 그림을 찾기가 어려운 때문으로 추측된다. 어떤 법칙을 기하학적으로 쉽게 직관하는데 도움이 되는 그림을 제공할 때, 다음의 조건을 만족시켜야 한다. ① 학생들이 이전에 학습한 내용만으로 이해할 수 있는 것이어야 한다. ② 그림이 너무 복잡해서는 안된다. 법칙의 이해를 돕는 긍정적인 기능보다는 부담을 지우는 역기능을 할 가능성이 있다. 제 2 코사인 법칙은 피타고라스 정리와 밀접한 관련이 있다. c²= a²+ b²- 2ab cosC 에서 각 C가 직각이면 cosC=0 이므로 c²= a²+ b²- 2ab cosC ⇒ c²= a²+ b²이 된다. 이 때 제 2 코사인 법칙의 기하학적 의미를 피타고라스 정리의 증명에 사용되는 그림을 이용하여 살펴보고 있다. (제 2 코사인 법칙의 기하학적 의미) ⑴ 피타고라스 정리의 유클리드 증명법 흉내내기 둔각삼각형의 예를 들어 보자. (△ABC) 위쪽 그림에서 직사각형 BKML과 넓이 가 같은 것은 정사각형 BCGF가 아니라 직사각형 BC'G'F 이다. 즉, □BKML=□BCGF+□CC'G'G 이고 □AKMD=□ACHI+□CHH'C' 이다. 그런데 □CC'G'G=-ab cosC □CHH'C'=-ac cosC 이므로 = □BKML+□AKMD =□BCGF+□CC'G'G+□ACHI+□CHH'C' = a²+ b²- 2ab cosC 여기서는 피타고라스 정리의 유클리드 증명법을 흉내내어 제 2 코사인 법칙을 유도하면서 모자라는 넓이로서 -2ac cosC 를 시각화하였다. 예각삼각형의 경우도 마찬가지로 남는 넓이를 시각화할 수 있다. 단, 피타고라스 정리를 직접 사용하지는 않았다. ▶ 피타고라스 정리의 유클리드적 증명법이 가르쳐지고 있지 않는 현실에서 위의 설명을 제시하기는 무리가 될 수 있다. 또한 보기에 따라 설명이 지나치게 복잡해 보이기도 한다. ⑵ 피타고라스 정리 반복 적용하기 각 C가 둔각일 때, 삼각형 ABC를 예로 들어 보자. 직각삼각형 ABD에서 c²= (1)+(2)+(3)+(4)+(5), b²=(1) 이고 또 직각삼각형 BCD에서 a²= (2)+(3) 이다. 그런데, (4)=(5)=-ab cosC 이므로 c²= a²+ b²-2ab cosC 이다. ▶ 설명 자체는 간단하지만, 직사각형 ⑷의 경우 삼각형 ABC와 너무 떨어져 있고, 또는 중 어느 하나가 를 모두 떠 맡는 듯한 인상을 준다. III. 결어 현재의 교과서에는 피타고라스 정리의 깊은 증명보다 내용을 잘 이해하는데 목표를 잡고 있으므로 위의 기하학적 설명은 제공되지 않고 있다. 하지만, 제 2 코사인 법칙과 피타고라스 정리를 관련지어 통찰함으로써 양자에 대한 이해의 폭이 깊어질 수 있으며, 교사에 따라서 이 내용이 시간과 노력을 투자 할 가치가 있는 것으로 판단되면 이를 잘 사용할 수도 있을 것이다.