다박사 펀앤펀 수학 <5> 사이클로이드

다박사 펀앤펀 수학 <5> 사이클로이드 비탈길 가장 빨리 내려오는 곡선… 기와집 지붕의 곡면

사이클로이드 작도법 많은 수학자들은 수학을 공부하는 도중에 종종 수학의 아름다움에 도취하기도 한다. 특히 곡선은 많은 수학자들을 매료시켰다. 아르키메데스, 베르누이의 나선, DNA 이중나선 등 다양한 곡선은 교묘히 조화를 이루면서 자연현상을 잘 설명하고 있다. 그중에서도 사이클로이드는 신비한 매력과 특징을 갖고 있어 수학자는 물론 타 분야 과학자들로부터 사랑을 받아 왔다. 사이클로이드는 어떤 특성을 갖고 있을까. 짧은 길이 가장 빠른 길은 아니다 1696년 장 베르누이에 의해 제기된 최단거리 강하에 관한 문제는 많은 과학자들의 관심을 받게 된다. 최단거리 강하문제는 뉴턴, 베르누이형제, 라이프니치, 로비탈 등 당대의 내로라하는 과학자들에 의해서 풀리게 된다. 정답은 직선도, 반원도, 포물선도 아닌 사이클로이드(cycloid)이다. 직선으로 이루어진 비탈길이 가장 짧은 거리이기는 하지만, 가장 빨리 내려오는 것은 아니라는 것이다. 예를 들어 45도 비탈면(직선) 위에서 물체는 중력에 의한 일정한 가속을 받아서 내려온다. 그러나 사이클로이드는 각 위치에 따라 가속력이 더욱 가속을 받는 '변하는 가속력'을 받게 되어 가장 빨리 내려오게 되는 것이다.     사이클로이드 곡면이 적용된 기와지붕. 사이클로이드 곡선을 만드는 것은 매우 간단하다. 원통의 면에 연필을 고정시킨 후 원통을 굴리면서 연필의 궤적을 종이에 나타내면 된다. 여기에 신기한 수학이 숨어 있다. 한번 회전으로 만들어진 사이클로이드의 길이는 원의 반지름의 8배의 길이를 가지고 있고, 넓이는 원의 넓이의 3배이다. 어디서 출발하든 같은 시간에 도착한다(등시곡선) 등시곡선은 곡선 상의 어느 점에서 출발하더라도 동시에 원점에 도착하는 곡선을 말한다. 사이클로이드는 대표적인 등시곡선이다. 사이클로이드 곡선의 제일 위에서 출발하든, 중간지점에서 출발하든 두 물체의 도착 시간이 똑 같다. 갈릴레이는 성당에서 미사 도중 진자의 등시성을 발견했다고 알려져 있다. 하지만 진자의 등시성은 작은 진폭을 가지는 경우에만 성립하며, 진폭이 커지면 등시성이 깨어진다. 당시에는 정밀한 시계가 없어 이 사실을 알지 못하였던 것으로 보인다. 호이겐스는 1673년 진자가 사이클로이드 상을 진행할 때 등시성을 가진다는 사실을 증명하고 이 결과를 이용하여 진자시계를 만들었다. 호이겐스의 진자시계는 사이클로이드의 면을 따라 움직이고 진자는 항상 같은 시간에 정점에 도달한다. 생활 속의 사이클로이드 자연은 우리보다도 먼저 최단거리 강하곡선을 알고 있다. 먹이를 노리는 독수리의 고공낙하는 직선이 아니라 사이클로이드 곡선이다. 물고기의 비늘에서도 사이클로이드 곡선을 만날 수 있다. 우리 조상들은 사이클로이드라는 수학적 용어는 알지 못했지만, 기와집과 초가집의 지붕에 사이클로이드 곡면을 사용하고 있었다. 비가 내리면 기와에 흡수되는 시간을 최소화하기 위하여 최단시간에 빗방울이 땅으로 떨어지도록 설계된 처마는 사이클로이드의 곡면으로 만들어져 있다. 어떤가. 놀랍지 아니한가. 부산과학기술협의회 교육연구팀