16. 큰 수박 1개를 살까? 작은 수박 여러 개를 살까?

 

16. 큰 수박 1개를 살까? 작은 수박 여러 개를 살까?

  매일 사용하는 세수 비누나 두루마리 화장지는 처음에는 아무리 써도 줄어들 것 같지 않다. 그러다가 뭉치가 작아지기 시작하면 금방 닳아 없어지고 만다. 이럴 때, 그 이유를 곰곰이 생각해 스스로 해답을 찾게 되면, 그야말로 그 순간부터 갑자기 수학의 재미를 느끼기 시작할 것이 틀림없다.

  이 두 가지 경우는 똑같은 원리에 의해 일어난다. 즉, 닮음비와 넓이의 비, 부피의 비의 관계가 그것이다. 비누의 가로․세로․높이의 길이가 각각 처음의 1/2로 줄어들면 그 비누의 부피는 1/8로 줄고, 두루마리의 반지름이 1/2일 때 그 두루마리 화장지의 길이(두루마리의 밑면)는 1/4이 된다.

  과일 가게에서 과일을 고를 때에도, 닮음비를 알고 있으면 이득을 본다. 수박을 살 때, 반지름이 1/2인 수박 8개가 반지름이 1인 수박 한 개와 그 양이 같은 셈이다. 가격이 1/8일리는 없을 테니까 작은 수박을 사는 편이 결국 손해이다. 이러한 사실을 혼자서 깨달았다면 이제 누가 뭐라 해도 수학을 그만둘 수 없게 된다.

  여기서 다음과 같은 퀴즈를 생각해보자. 하나의 상자에 똑같은 재료로 만든 모양이 같은 공을 다음과 같이 채워 넣었다고 하자. 큰 공을 넣었을 때와 작은 공을 넣었을 때의 무게는 어떻게 다를까? 무게는 마찬가지이다. 하나의 공과 그 주위를 생각하면 닮음비의 원리에 의해서 곧 알 수 있다.

17. 구의 겉넓이와 지방질의 소화

  생활 수준이 향상되면서 우리가 식사를 통해 섭취하는 지방질의 양이 늘어나고 있다. 흔히 기름기라고도 불리는 지방질은 다양한 음식을 통해 섭취할 수 있는데, 기름기가 많으면 소화가 잘 안되는 것으로 알려져 있다. 그런데, 같은 지방질인데도 마요네즈와 마가린은 비교적 소화가 잘된다. 왜 그럴까 ?

  마요네즈는 다른 지방질에 비해 그 알갱이가 아주 작다. 같은 양의 지방인데 알갱이가 작으면 전체 겉넓이가 커지게 된다. 위장이 영양분을 소화시킬 때, 음식이 소화액에 접촉되는 면이 넓을수록 소화가 잘된다. 그래서 알갱이가 울퉁불퉁하고 잘게 부수어진 음식이 겉넓이가 크기 때문에 소화가 잘 되는 것이다. 간단한 계산을 한 번 해보자. 반지름이 R 인 구 모양의 지방 덩어리의 부피는 이고, 겉넓이가 이다. 이 지방 덩어리를 여덟 개의 알갱이로 잘게 부수어 보자. 부피는 변함이 없지만 반지름은 줄어들게 된다.

  

 

알갱이의 반지름을 r 이라 하면 에서 이다.

  과 은 양수이므로 , 곧 이 된다. 따라서 우리가 구하는 겉넓이는  이 되어서, 2배나 불어나게 되는 것이다. 곧 대략 2 배정도 소화가 잘된다고 할 수 있는 것이다. 음식은 꼭꼭 씹어 먹어야 소화가 잘 된다는 말이 괜히 나오는 것이 아니다. 건강한 몸과 마음으로 공부를 하려면 밥 먹을 때도, 책 읽을 때도, 꼭꼭 씹어 먹는 것을 잊지 말아야 하겠다. 수학 공부를 할 때에도 마찬가지로 공식만 대강 외우는 것이 아니라, 왜 그 내용이 나왔는지 꼭꼭 씹어서 생각해야 잘 이해가 되고, 잘 소화가 되어서 튼튼한 뼈와 살이 될 것이다.

18. 기름나누기 셈

  옛날에는 간장이나 기름, 소금 같은 것이 모자라면 이웃집끼리 나누어 썼는데 <진겁기>에는 그때 사용하던 '기름 나누기 계산법'이 수록되어 있다. 거기에는 다음과 같은 내용이 실려 있다.

  예를 들어 '어떤 통 속에 한 말(10되)의 기름이 들어 있는데 이것을 7되들이 말과 3되들이 말을 사용하여 정확히 절반으로 나누는 방법'을 질문하고 있다. 일반적인 퀴즈에서라면 ‘기름통을 옆으로 비스듬히 기울여 5되 정도가 되게 한다'는 정도의 해법이 제시되겠지만 여기에서는 그런 방법이 통하지 않는다.

  그렇다면 다른 방법을 생각해 보자. 편의상 10되들이, 7되들이, 3되들이 통을 각각 A, B, C라고 해둔다. 먼저 A에 있는 기름을 B에 가득 채운다. 다음은 B에 있는 기름을 C에 채워준다. (A, B, C는 3되, 4되, 3되가 된다) 이런 상태에서 C의 기름을 A에게 되돌려주고 빈 상태가 된 C에게 B의 것을 붓는다. 그러고 나서는 C에 있는 기름을 또다시 A에게 되돌려 준다(A, B, C는 각각 9되, 1되, 0되가 된다)  이 때 B의 기름(1되 밖에 되지 않는 기름)을 C에 쏟아 붓는다. 그런 후에 A에 있는 기름을 B에게, B에 있는 기름을 C에 채운다. 이렇게 되면 B의 7되 중 2되를 C에 붓게 되어 B통에는 5되가 정확히 남게 되는 것이다.

  그런데 <진겁기>에서의 해법은 앞서의 방법과 다른데 이를 눈여겨보도록 하자. 우선 3되들이 되로 7들이 되에 3번 넣는다고 했을 때, 3되들이에는 2되가 남게 된다. 이렇게 되었을 때 7되들이 되에서 3되들이 되를 채우면 7되들이 되에서 5되가 남게 된다고 기록되어 있다. 분명히 3되들이 되로 3번 퍼 올려 그것을 7되들이 속에 넣으면 7되들이는 가득 채워지고 3되들이에는 2되만 남게 된다. 이때 7되들이 되에 3되들이의 2되 분을 넣어주고 다시 3되들이로 기름을 퍼 올려 7되들이에 넣어 주는 방법이다. 실은 여기에는 하나의 법칙이 있다. 아래와 같은 방법을 꼭 익혀두기 바란다.

 가. 기름나누기 법칙

   1) B가 비어 있을 때에는 A로부터 B에 가득 붓는다.

   2) B에 기름이 들어 있을 때에는

    가)C가 가득차지 않으면 B의 기름으로 C를 가득 채운다.

    나)C가 가득 차면 그것을 A에게 되돌려주되 1)을 반복한다

19. 길이의 단위는 어떻게 정해졌을까?

  1m의 길이를 모르는 사람은 없지만, 도대체 이 길이가 무엇을 기준으로 만들어졌는지를 아는 사람은 그리 많지 않다. 지금 쓰이고 있는 미터법은 1790년 프랑스 국민의회에서 제안된 것이다. 당시의 프랑스는 혁명이 한창 진행 중일 때이고, 나라 안의 질서가 문란해지고 특히 계량기 사용이 제 멋 대로였다. 이 무렵 프랑스 국내에서 쓰인 자의 종류가 400종이나 되었다고 하니까 그 무질서를 짐작하고도 남음이 있다.

  하기야 조선조 말기의 우리나라는  "마을마다 되가 다르고, 집집마다 자가 달랐다."고 했으니까 그 무질서는 이보다 더 심했지만 프랑스에서는 심각한 도량형의 무질서 상태를 시정하기 위해서 혁명 후 최초의 의회에서 이 문제가 중요한 의제가 되었다.

  첫째 안, 주기가 1초인 시계추의 길이

  둘째 안, 지구 적도의 길이

  셋째 안, 지구 자오선(子午線)의 길이의 4000만 분의 1

  이 중에서, 첫째 것은 길이의 단위를 정하는데 시간이 끼어 들기 때문에 좋지 않고, 둘째 것은 실제로 측량을 위해서 접근하기가 어렵다는 이유 때문에 세 번째 안으로 결정되었다. 게다가 이 세 번째 안은 프랑스 국내뿐만 아니라 세계 각국이 채택하기 위해서는 기준이 되는 것이 지구적 규모의 것이어야 한다는 많은 위원들의 의견을 충족시킨다는 '강점'을 지니고 있었다. 자오선의 결정을 위해서 스페인의 바르셀로나와 프랑스의 단케르크 사이가 선택되었으며, 1792년 6월부터 6년 동안 측량이 행해졌다. 그리하여 길이의 단위는 자오선의 4천만분의 1로 결정되었다.

  이것이 현재의 1m의 기원이다. 1m를 표시하는 원기(元氣)는 백금 90%, 일리지움 10%의 합금이다. 이 원기(元氣)는 당시로는 이론상으로 온도나 그 밖의 원인에 의해 변형이 생기는 율이 가장 작은 것이었다.

20. 기차 소리

  경상대학교 기숙사 앞에는 기찻길이 있다.  이 기찻길 위를 하루에도 몇 번 씩 기차가 다니고 있다. 그때 “덜거덕....덜거덕..” 거리는 소리에 밤중에도 잠을 깬다. 그럼 기차레인 위를 기차가 지나갈 때 “덜거덕..덜거덕..”거리는 소리가 하루에 몇 번 들리는지 알아보고, 또 얼마나 빨리 들리는지 알아보자.

  우선 그 소리가 들리는 범위부터 알아보면 지금(겨울의 경우) 창문을 닫았을 경우기숙사 앞을 지나가는 약 100m 정도가 “덜거덕”거리는 소리를 들을 수 있는 범위다. 그리고 “덜거덕”거리는 소리의 원인은 기찻길 레인의 길이 끓어져 있기 때문인데 기숙사 앞의 기찻길 레인의 길이는 12m로 기숙사 사람들이 들을 수 있는 100m 내의 레인은 (100/12)=8.33 즉, 8.33 개가 있다. 다음은 8.33개의 레인 위를  지나가는 기차 바퀴의 개수를 살펴보면 (객실의 수 7 + 기관실 1)*(바퀴 수 4개)= 32(여기서 바퀴수는 한 칸 당 8개지만 겹쳐지는 부분이 있어 4개)이다. 그러므로 우리 기숙사 사람들이 지나갈 때 듣는 “덜거덕”소리의 수는 {들을 수 있는 범위(100)/한 레인의 길이(12)}*바퀴수=265.6이다. 기숙사 사람들이 들을 수 있는 덜거덕 소리는 265.6개란 것을 알 수 있다.

  그럼, 얼마나 빨리 들릴까? 기차의 속력은 기차의 종류마다 다르지만 기숙사 앞을 자주 지나가는 무궁화호의 경우 개양역이 가깝기 때문에 80Km/h로 달린다. 그러므로 8000m : 3600초 = 100m : x이다. 4.5초당 한번 덜거덕 소리를 들을 수 있다.

  정리해보면 기숙사의 사람들은 4.5초안에 기차가 지나갈 때 덜거덕거리는 소리를 265.6번 듣게 된다. 위의 계산은 겨울의 경우이다. 여름의 경우 온도가 높으면 소리가 위로 퍼지기 때문에 그 소리는 더 약하게 들릴 것이다.

21. 카세트 테이프 회전수

  우리는 음악을 듣거나 영어를 공부할 때 카세트를 이용하여 많이 듣는다. 카세트 속에 테이프를 넣어 듣게 되는데 이때 테이프는 계속해서 일정한 속도로 돌아가게 된다. 그럼 테이프가 끝날 때까지는 몇 번 회전을 할까?

  우선 몇 번 회전을 하는지 알아보기 위해서 회전속도를 알아야 한다. 테이프가 회전하는 속도를 알아보기 위해서 테이프가 회전하는 수와 카세트 안의 톱니가 회전하는 수는 같으므로 카세트의 톱니가 몇  회전하는지를 알아야 한다. 카세트의 톱니가 몇 회전하는지 알기 위해서 카세트 안에 손가락을 데고 톱니가 손가락에 부딪히는 수를 세었다. 1분에 163회가 손가락에 감지되었고, 톱니의 수는 3개 즉, 163/3이므로 1분에 54.3번 회전을 한다는 것을 알 수 있었다.

  다음은 테이프의 시간을 알아야 하는데 내가 듣는 테이프의 경우 15분 21초..15분 21초(921초) 짜리 테이프가 회전하는 수는 60초 : 54.3회 = 921초 : X이므로 833.505회 회전함을 알 수 있다.  테이프의 앞 뒤 면을 다 들을 경우..테이프의 회전수는1667.01회 돌아간다는 것을 알 수 있다.

22. 당구

 가. 사각 당구대

  사각형 모양으로 만들어진 녹색의 판 위에서 긴 막대기인 '큐'로 공을 쳐 다른 공을 맞추는 놀이가 바로 당구이다.

 한 번도 당구장에 들어가 본 일이 없는 사람은 왼쪽 그림을 보고 상상해보기 바란다.

  문제는 흰색 A공을 큐로 쳐서 그 공이 먼저 두 변에 맞은 다음 빨간색 B공에 맞도록 하려면 P, Q의 위치를 어디에 잡아야 할지 이다. P의 위치를 잘못 잡으면 결국 Q의 위치도 잘못되어 설상가상이 된다는 사실을 명심하면서 작도를 해보자.

  우리는 빛의 경우 입사각과 반사각이 같다는 사실을 알고 있다.

  당구의 공도 마찬가지이다. 공의 한가운데를 큐로 쳐서 그 공이 변에 부닥치는 경우, 들어갈 때의 각도와 튀어나올 때의 각도는 같다. 이 같은 성질을 명심해야 문제를 풀 수 있다.

  그 다음 이 문제를 풀기 위해서는 흰색 공을 변에 먼저 한 번 맞힌 다음 빨간색 공을 맞히는 방법을 생각해야 한다.

  왼쪽 그림처럼 '멋지게 맞히는'경우의 그림을 분석해보면 점 A가 변 XY를 기준으로 선대칭으로 이동한 점 A' 가 해결의 열쇠임을 알 수 있다. △AHP≡△A' HP이므로 ∠APH〓∠A' PH〓∠CPY

  결국 변 XY에 대한 A의 대칭점인 A' 를 구한 다음 선분 A'C를 그을 때 변 XY와의 교점이 되는 P가 구하는 점임을 알 수 있다.

 그러면 본론으로 들어가서 우선 B의 대칭점 B' 를 잡고, 선분 A'B' 와 두 변의 교점을 차례로 P, Q라 한다. 이 점 P, Q가 바로 구하는 점이다.  A공을 P에 맞히면 자연히 Q에도 맞고 B에도 맞는다. 그러나 점 P에 맞히지 못하면 Q는 물론, B에도 맞힐 수 없다.

나. 타원 당구대

  일반 당구대와는 달리 타원 모양으로 생긴 당구대에서는 특별한 기술이 없이도 당구를 잘 칠 수 있다. 두 초점에 공을 하나씩 놓고, 한 쪽 공을 벽을 향해 쳐보자. 어떤 방향으로 쳐도 벽에 한 본 부딪힌 후에는 나머지 하나의 공에 명중된다. 왜 그럴까? 포물선의 원리를 이해하면 된다.

 이번에는 한 초점에만 공을 놓고 쳐보자. 공은 또 다른 초점의 위치를 지나 벽에 맞을 것이다. 그 다음에 공이 어디로 가는지 관찰하여 보자.

  또 초점에 공을 놓지 않았으므로 초점 F에서 구르기 시작한 공은 벽에만 부딪히면서 운동을 계속할 것이다. 마찰이 매우 약하여 이 공이 타원 당구대의 벽에 여러 번 부딪히며 돌았다고 하자. 이 공은 어떻게 움직였을까?

다. 당구대 위의 수학(Mathmatics of the billiard table)

  수학에 대한 지식이 우리가 당구게임을 하는데 도움을 준다는 것을 누가 믿을까? 주어진 당구대의 두 변의 길이가 대략 7 : 5인 직사각형 모양일 때, 당구공을 아래 그림에서와 같이 한 모서리에서 45도 각도로 치면 당구대 위를 어떤 일정한 시간 동안 튀면서 구르다가 다른 모서리에 도달한다. 다른 한 모서리에 도달하기 전에 당구공이 당구대의 변과 부딪히는 수는 가로 + 세로 -2와 같은 공식으로 주어진다.

  위 당구대에서 공이 부딪히는 전체 횟수는 10회이다. 즉 공은 변과 7 + 5 - 2 = 10회 부딪힌다.  당구공의 진행 경로를 결정하는 직각 이등변 삼각형이 구조를 잘 인식해야 한다.

23. 롤러 코스터(roller coaster)

 가. 뫼비우스의 띠(안팎이 없는 종이)의 발견

   스위스의 위대한 수학자이자 물리학자였던 오일러(1707～83)는 '쾌니히스베르크 다리 건너기' 문제를 해결한 다음 1736년 이를 논문으로 정리해 발표했다. 이 논문이 훗날 topology(위상기하학)라는 새로운 수학을 탄생시키는 계기가 되었다. 당시까지의 기하학은 길이, 면적, 각도 등의 측정이 그 중심이었다. 반면 이 새로운 위상기하학은 그러한 성격에서 벗어나 점과 선의 관계를 중심으로 연구한다는 점이 그 특징이었다. 18세기 이후 위상기하학은 여러 가지 재미있는 문제들을 선보이면서 화제를 만들어 내었다. 뿐만 아니라 일상적인 사회생활에 직접적으로 도움을 주는 수학으로 발전하면서 수학계 전반에 커다란 영향을 미쳤다.

  사람들의 관심을 끌었던 문제들로 '4가지색으로 지도 칠하기' '끈의 요술' 등이 있었지만 뭐니뭐니 해도 가장 주목을 받았던 것은 '안팎이 없는 종이'이다. 이것은 독일의 수학자이자 천문학자인 뫼비우스(1790～1868)가 고안해 내었는데 당시 일반사람들은 이런 종이가 실제로 있을까 하며 의아해 했었다.

  독일의 유명한 수학자 뫼비우스(Mobius, A. F.;1790～1868)도 당시에는 생각하지도 못한 것을 생각해 냈다. 그 당시에는 유클리드 기하학이 널리 퍼져 있었다. 사람도 앞과 뒤가 있듯이 모든 물체에는 앞면이 있으면 반드시 뒷면이 있다고 믿고 있었으며, 아무도 앞면만 있을 수 있다는 것을 생각하려고 하지도 않았던 때, 뫼비우스는 혹시 앞면만 있을 수 없을까를 생각하여 만들어낸 띠가 바로 뫼비우스의 띠 이다.

 나. 뫼비우스 띠의 예

  1) 오늘날 방앗간에서 벨트를 이용하여 기계의 축을 돌리는데, 이 벨트 중 한 번 꼬여 있는 것이 바로 뫼비우스의 띠이다. 이와 같이 만들어 기계의 축을 돌리면, 면이 모두 기계에 닿게 되므로 벨트의 수명이 훨씬 길어지게 되는 것이다. 당연하다는 고정 관념에서 벗어나 그렇지 않을 수도 있다는 생각을 해 본다는 것이 학문발전의 힘이 된다는 것을 알 수 있다.

   한편 독일의 수학자인 클라인(1849～1925)은 공처럼 면이 닫혀 있으면서도 물이 자유롭게 드나들 수 있는 병을 위상기하학적 모델로 고안해 내었다. 이것이 바로 그 유명한 '클라인 병'이다.

 2) 에버랜드 등 놀이공원에 군데군데 급한 경사를 만든 환상 레일에 차를 달리게 하는 오락 설비 즉, 롤러코스터(roller coaster) 또한 뫼비우스 띠를 이용한 것이다. 이 롤러코스터는 또한 함수의 증가 감소를 최대한 이용하여 흥미를 배가시켜준다.

24. 수학과 건축(Mathematics and Architecture)

  우리는 건축에서 사용되는 정사각형, 직사각형, 피라미드와 구 같은 수학적 모형에 대해 많은 것을 잘 알고 있다. 그러나 잘 알려지지 않게 설계된 건축 양식들 몇 개가 있다. 하나의 놀라운 예는 샌프란시스코에 있는 성 마리 성당을 설계하는데 사용된 쌍곡선 포물면이다. 이 성당은 폴 리안(Paul A. Rhian), 존 리(John Lee), 엔지니어 고문인 로마의 피어 루이지 너비(Pier Luigi Nervi), MIT 공대의 피에트로 벨러치(Pietri Bellaschi)에 의해 설계되었다.

  성당의 제막식에서 미켈란젤로는 성당에 대해 무엇을 생각했는지 물었을 때 너비(Mervi)는 “그는 성당에 대해 아무런 구상도 하지 않았다. 이 설계는 증명되지 않는 기하학적 이론에서 왔다.” 라고 단순히 대답했다.

  건물의 꼭대기는 2,135 평방 피트 크기의 쌍곡 포물면의 둥근 천장으로 바닥 마루에서 위로 200피트 높이의 벽을 쌓고 있고, 땅 속으로 94피트 연장된 4개의 크고 무거운 콘크리트 탑에 의해 지지되고 있다. 각각의 탑은 9백만 파운드의 무게를 떠받치고 있다. 벽돌은 128개의 다른 크기를 갖는 1,680개의 콘크리트 우물 반자로 만들어졌다. 정사각형의 주춧돌의 크기는 255인치 * 225인치이다.

  쌍곡 포물면 은 포물면(그 대칭축에 대해 회전된 포물선)과 3차원 쌍곡선이 결합되어 있다.

25. 음계와 수열

  어떤 현악기의 각 음의 진동수은 중간도의 진동수에 대하여 과 같이 정해진다. 또, 음의 진동수와 현의 길이는 반비례 관계가 있다. 어떤 현의 1m 지점을 누르고 뜅겼을 때, 중간도를 얻었다면 솔과 한 옥타브 높은 도를 얻기 위해서는 각각 현의 어느 지점을 누르고 튕겨야 하는가? 이에 대한 답은 진동수의 관계식에서 솔과 한 옥타브 높은 도의 진동수를 로 나타내고 그것을 다시 현의 길이로 바꾸는 것이 문제의 뜻이다. 솔과 한 옥타브 높은 도의 진동수를 각각 과 이고, 이에 대응하는 현의 길이를 각각 이라고 하면 (의 현의길이), (의 현의 길이) 진동수의 관계식에서 , 이므로 , 이다. 즉, 0.67m, 0.5m 지점을 누르고 튕기면 된다. 피아노에서 이다. 또, 위에서 도, 솔, 도의 진동수는 등차수열을 이루며 이로부터 조화로운 음이 생겨날 수 있음을 알 수 있다.