1. 개미가 힘이 센 이유

 

1. 개미가 힘이 센 이유

  자기 몸보다 더 큰 짐을 지는 것은 사람에게는 매우 어려운 일이다. 그런데 개미가 자기 몸보다 더 큰 짐을 지고 가는 것은 매우 흔하다. 개미가 힘이 센 이유는 무엇일까?  힘이 세다는 것은 근육이 물건을 들어올리는 힘이 크다는 것을 말한다. 그리고 근육이 물건을 들어올리는 힘은 근육의 굵기, 곧 근육 단면의 넓이에만 비례한다.

  이제 키와 근육의 단면적을 비교하기 위하여 길이, 넓이, 부피 사이의 관계를 살펴보자. 한 변의 길이가 각각 1㎝, 2㎝인 정사각형이 있다. 작은 정사각형의 넓이는 1×1=1(㎠)이고 큰 정사각형의 넓이는 2×2=4(㎠)이므로 큰 정사각형의 넓이는 작은 정사각형의 넓이의 4배다. 즉, 변의 길이의 비가 1 : 2일 때, 넓이의 비는 1 : 4가 된다. 또, 두 정육면체의 부피를 계산해 보면, 한 변의 길이가 1㎝인 정육면체의 부피는 1×1×1=1(㎤)이고 한 변의 길이가 2㎝인 정육면체의 부피는 2×2×2=8(㎤)이다. 따라서 큰 정육면체의 부피는 작은 정육면체의 부피의 8배다. 모든 도형의 넓이와 부피는 아주 작은 정사각형, 정육면체로 나누어 생각할 수 있으므로 모든 도형의 길이, 넓이, 부피 사이에는 위와 같은 관계가 있다는 것을 짐작할 수 있다. 이 원리에 따라 개미의 힘이 센 이유를 알 수 있다. 크기는 다르고 구조는 거의 비슷한 닮은 동물을 생각해 보자. 큰 동물의 키가 작은 동물의 키의 2배라고 하면 표면의 넓이 또는 근육 단면의 넓이는 4배, 부피나 무게는 8배가 된다.

  그런데 근육이 물건을 들어올리는 힘은 근육의 굵기, 곧 단면의 넓이에만 비례하기 때문에 동물의 몸길이가 2배가 되면 체중은 8배가 되지만 근육의 힘은 4배 밖에 되지 않는다. 동물의 힘은 오히려 체중의 8분의 4, 곧 2분의 1로 줄어드는 것이다. 이렇게 체중과 근육의 힘이 증가하는 비율이 다르기 때문에 개미나 쇠똥구리는 자기 체중의 30배에서 40배까지 되는 무거운 짐을 끌 수 있지만 사람은 자기 체중의 0.9배의 짐밖에 들어올릴 수 없다.

2. 걸리버의 식사량은 소인국인의 몇 인분인가?

  『걸리버 여행기』의 주인공 걸리버가 난쟁이 나라에 도착하였을 때, 그 곳 리리파트(소인국) 사람들은 그에게 매일 리리파트인 1728인분의 음식을 지급하기로 하였다. 걸리버의 말을 들어 보면, 그의 식사는 다음과 같이 요란스러운 것이었다.

"300명의 요리사가 내 식사를 준비하였으며, 내 집 주위에는 다른 작은 집들이 세워지고, 거기서 요리사들은 가족들과 함께 지내면서 요리를 하였다. 식사 때마다 나는 20명의 급사를 식탁 위에 올려 주었다. 그러면 100명쯤의 또 다른 급사들이 대령하고 있어서, 어떤 사람은 음식 접시를 내밀고, 어떤 사람들은 포도주며 다른 음료를 담은 통을 두 사람씩 어깨에 걸친 막대로 운반하기도 하였다. 식탁 위에 있는 급사는 내가 원하는 것을 밧줄과 도르래를 이용하여 무엇이건 끌어올렸다."

또 걸리버는 다음과 같이 말하고 있다. "나를 서울로 보내는데 가장 큰 말 1500필을 준비하였다."

  그런데 리리파트인들은 도대체 어떻게 계산하였기에 이렇게 많은 양의 음식을 걸리버에게 제공하였던 것일까? 또, 단 한 사람의 시중을 드는데 이처럼 많은 급사가 필요하였을까? 걸리버의 키는 기껏해야 리리파트인들보다 12배 컸을 뿐인데 말이다. 그리고, 걸리버와 이 난쟁이 나라 말의 크기가 아무리 차이가 있었다 하여도 1500필이란 숫자는 너무 지나친 것 같다.

  걸리버의 키는 리리파트인들의 12배이기 때문에 몸 전체의 크기(부피)는 12×12×12, 곧 1728에 해당한다. 따라서 걸리버가 목숨을 지탱하기 위해서는 그들에게 1728 인분이 되는 음식을 섭취해야 한다는 계산이 된다.

  이렇게 따지면 요리사의 수가 그렇게 많았던 이유를 이해할 수 있을 것이다. 1728인분의 요리를 장만하기 위해서는 한 사람의 요리사가 6인분의 요리를 마련할 수 있다고 하여도 300명쯤은 필요하였을 것이다. 시중꾼이 100명쯤 되었다는 것도 이 사실로 미루어 당연히 그랬어야 한다고 믿어진다.

  또 걸리버의 몸의 부피가 리리파트인의 1728배였기 때문에 물론 그의 몸무게도 그만큼 무거워야 한다. 그를 말로 운반하는 것은 1728명의 리리파트인 어른을 한꺼번에 운반하는 것과 마찬가지인 엄청난 작업이다.

  걸리버를 태운 운반차를 끄는 이 난쟁이 나라의 말이 왜 이토록 많이 필요하였는지를 이제 알게 되었을 것이다. 이 작품을 쓴 스위프트는 정확하게 셈을 하고 있었던 것이다.

3. 확률로 계산해 보는 인연

  새 학기가 되면 교실 게시판에 학생들의 생일을 적어놓는데, 신기하게도 생일이 같은 사람이 꽤 많다. 1년은 365일이나 되니 366명 정도는 모여야 한 쌍 정도가 생일이 같지 않을까 싶은데, 어째서 그럴까?

  먼저 축구 경기를 가정해 보자. 축구장에는 선수가 22명, 주심 1명, 선심 2명 등 모두 25명이 같이 뛰게 된다. 한 경기마다 생일이 같은 사람이 섞여 있을 가능성은 얼마나 될까? 무턱대고 확률을 계산하면 머리가 아파진다. 2명의 생일이 같아도 되고 3명, 4명의 생일이 같아도 되며, 심지어 생일이 같은 사람이 여러 쌍 있어도 되므로 경우의 수가 너무 많아진다. 이럴 땐 반대로 생일이 모두 다를 경우를 생각하면 훨씬 쉽다. 먼저 2명이 있을 때, 첫 번째 사람의 생일이 5월 5일이라면, 다른 한명의 생일은 365일 중에서 이날을 제외한 364일 중 어느 날이어야 한다.

  따라서, 2명의 생일이 다를 확률은 이다. 3명의 생일이 모두 다를 확률은 얼마나 될까? 세 번째 사람의 생일은 앞의 두 명의 생일과 달라야 한다.

  따라서 1년 중 이틀을 제외한 363일 중 어느 한 날이 생일이어야 한다. 또 3명의 생일이 모두 달라야 하므로 이 된다. 이렇게 계속 계산하면 25명의 생일이 모두 다를 확률은 계산기를 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

 

  따라서 25명의 선수 중 생일이 같은 선수가 한 쌍이라도 섞여 뛰게 될 확률은 약 0.57(=1-0.43)정도이다. 즉, 10번의 축구 경기가 있을 때 5.7경기, 약 6경기 정도는 생일이 같은 사람이 뛰고 있을 가능성이 있는 셈이다. 이 정도면 굉장히 흔한 일 아닐까? 여러분이 어떤 모임에서 같은 생일의 사람을 만날 확률은 얼마일까? 계산기를 두드리다 보면 혹 인연의 깊이도 수학으로 가늠해 볼 수 있을지 모른다.

  한 반의 구성원이 30명인 경우 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구해보자.

10반 중 7반에는 생일이 같은 사람이 있을 가능성이 있는 것이다.(mathlove 발췌)

4. 꽃잎에서 발견되는 피보나치 수열

  삶은 옥수수를 나눠 먹기 위해 반 쪼갰을 때 잘라진 면에 붙어 있는 옥수수 낱알을 세어보면 무척 흥미 있는 사실을 발견하게 된다. 옥수수의 낱알은 모두 짝수라는 사실이다. 그것은 8, 10, 12, 14, 16열로부터 큰 것은 24열까지 짝수로 분포한다. 옥수수를 잘 관찰해 보면 끝으로 갈수록 가운데와 비교해서 낱알의 개수가 작아지는데 그래도 홀수로는 되지 않고 짝수로 변하는 것을 쉽게 알아 볼 수 있다. 옥수수의 낱알이 홀수인 것을 발견하려고 27년 간 애를 쓴 농부도 있었다고 한다. 꽃들의 꽃잎을 세어 본적이 있을 것이다. 특히 네 잎 클로버가 행운을 가져온다고 하여 들에 있을 때나 잔디밭에 앉아 있을 때 심심찮게 주위를 찾아보던 기억들은 누구나가 다 간직하고 있는 추억이다. 클로버는 꽃잎이 3장인 것이 정상인데 예외로 4장 짜리 꽃잎이 간혹 발견되기 때문에 이를 찾으면 행운이 온다는 생각 때문에 열심히 찾아보는 것이다. 주위의 꽃들을 보면 꽃잎이 3장이나 5장으로 되어 있는 꽃들이 대부분이고 9장이나 10장으로 되어 있는 꽃잎은 찾아보기 힘들다. 꽃잎이 주는 숫자의 패턴을 알아보기 위해서 12세기말경 이탈리아 피사에 출현한 수학의 대천재 레오날도 피보나치(Leonardo Fibonacci, 1175 ～ 1250)를 만나봐야 한다. 피사의 레오날도라고도 불리우는 그는 사라센 제국의 회교도권 수학을 유럽의 그리스도교 국가로 소개한 공헌을 수학사에 남겼는데 피보나치가 제시한 다음과 같은 문제는 상당히 흥미 있는 결과를 갖는다.

  만일 한 쌍의 토끼가 매달 한 쌍의 새끼를 낳고, 새로운 쌍들도 태어난 지 두 번째 달부터 매달 한 쌍의 새끼들을 낳는 일이 계속된다면 월별로 토끼는 몇 쌍이 될 것인가 하는 문제를 잠시 시간을 내어 풀어보자.

  토끼가 죽지 않는다는 가정하에 이들의 숫자는 월별로 다음과 같은 수열을 이룬다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.....

신기하게도 거의 모든 꽃들의 꽃잎은 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89....식의 특이한 수열을 이루고 있다. 또한 전나무도 이러한 개수로 열매를 맺는다. 수학에서는 이러한 규칙성을 피보나치 수열(Fibonacci series)이라고 부른다. 이 수열의 특징은 세 번째 이상의 수는 앞선 두수의 합이 된다는 것이다.

  백합이나 보춘화는 꽃잎이 3장, 자두, 살구, 복숭아, 능금, 조팝나무, 솜양지꽃, 패랭이꽃, 동자꽃, 참외, 채송화, 동백은 5장, 모란, 수련, 참제빛고깔은 대개 8장, 금잔화는 13장이다. 한편, 국화과의 애스터는 21장이고 데이지 꽃은 대개 35장이나 5장 또는 89장의 꽃잎을 갖는다. 남미 페루의 국화인 해바라기의 이야기는 더욱 매력적이다. 꽃과 같이 있는 씨앗이 되기 전의 작은 꽃들의 나선형 패턴에서도 이와 같은 숫자들을 발견할 수 있다. 이러한 작은 꽃들은 서로 엇갈리는 2개의 나선 모양으로 배열되어 있어서 마치 해를 따라 움직이는 것처럼 착각하게 한다. 하나는 34개의 씨앗이 시계방향으로 회전하고 다른 하나는 55개의 씨앗이 시계반대방향으로 회전한다. 흔히 발견할 수 있는 쌍은 34와 55, 55와 89 또는 89와 144등의 숫자쌍이지만 그 이상의 피보나치 수를 찾아볼 수도 있다. 파인애플에서도 이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이 있다.

  이와 같이 나뭇잎과 꽃잎의 숫자가 피보나치 수열을 이룬다는 것을 증명하기 위하여 최근의 수리물리학자들은 컴퓨터를 이용하거나 실험실 내에서의 실험을 통하여 식물성장의 동력학 이론을 고안해 냈다.

  꽃잎뿐 아니라 나뭇잎, 꽃받침 등등에서도 식물의 특성과 피보나치 수열과의 관계를 발견할 수 있지만, 가지 끝 정점에서 형성되는 원시세포라 불리는 작은 덩어리들이 잎이나 꽃잎으로 발전해 나가는 과정에서 만들어지는 생식나선(generative spiral)의 발산각(divergence angle) 또한 흥미 있는 연구의 대상이 되고 있다.

  원시세포들이 생식나선을 따라 같은 각도로 배열되어 있는데 이 각은 대체로 137.5도에 거의 가깝다. 한편, 360도에 피보나치의 수 34와 55를 적용해서 얻어지는 각도가 222.5도 (360×34/55=222.5)와 137.5도(360-222.5=137.5)가 된다는 사실은 또 한번 우리를 놀라게 하고 있다. 다른 피보나치의 두수의 비율을 계산해 보아도 그 값은 .618034에 가까워지는데 이 값은 수학에서 황금수라 불리는 ( - 1)/2이다. 즉 연속된 원시세포 사이의 각도인 137.5도가 황금각이 된다는 사실은 이 세상의 모든 꽃들이 아름다운 모습을 할 수 밖에 없는 커다란 비밀인 셈이다.

5. 영화 속의 수학

가. 제5원소

  이집트의 피라미드 발굴 현장에서 한 노학자가 지구의 미래에 대한 중요한 비밀을 알아낸다. 5천년마다 세상이 바뀌고 악마가 찾아오는데, 이때 물, 불, 바람, 흙의 상징인 돌들과 절대선의 인간 이 다섯이 결합하여 악을 물리칠 수 있다는 내용이다. 플라톤은 우주를 구성하는 4가지의 원소를 정다면체와 대응시켰다. 흙-정육면체, 불-정사면체, 공기-정팔면체, 물-정이십면체 등 정다면체를 하나씩 대응시켜 정십이면체가 우주를 상징한다고 믿었다 한다.

 1) 플라톤이 우주를 정다면체에 대응시킨 까닭(정다면체는 오형제)

  우리는 주변에서 많은 입체도형을 보고, 사용하면서 살고 있다. 원기둥 모양의 컵에 물을 담아 먹고, 직육면체 모양의 상자에 물건을 넣어 선물하고, 원뿔 모양의 아이스크림 콘을 먹으며, 직육면체 모양의 침대에 누워, 직육면체 모양의 방에서 잠을 잔다. 이와 같은 여러 입체도형은 크게 다면체와 회전체 2종류로 나눌 수 있다. 말 그대로 다면체란 여러 개의 면으로 이루어진 입체도형인데 각종 상자, 건물, 사무용 책상, 피라미드 건축물 등이 다면체에 속한다고 볼 수 있다. 반면 회전체는 한 축을 중심으로 평면도형을 한 바퀴 회전시켜 만들 수 있으므로 곡면을 가지고 있으며 각종 그릇들, 원뿔이나 도우넛 모양의 물건, 절이나 신전의 원기둥 등이 여기에 속한다. 다면체 가운데 각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭지점에 모인 면의 개수가 같다는 등 2가지의 특별한 조건을 만족하는 다면체를 정다면체라고 한다. 그런데 정다면체는 이 세상에서 딱 5종류뿐이다. 왜 그럴까?

  먼저 입체를 만들려면 한 꼭지점에 적어도 3개의 면이 모여야 한다. 많은 정다각형 중 한 꼭지점에 3개 이상의 면을 모을 수 있는 것은 그렇게 많지 않다. 정삼각형의 한 내각이 60°인 것처럼 정사각형 90°, 정오각형 108°, 정육각형120°등이므로 곧바로 정삼각형, 정사각형, 정오각형만이 정다면체의 한 면이 될 수 있다는 것을 알 수 있을 것이다. 정육각형은 한 내각이 120°이기 때문에 3개를 한 꼭지점에 모으면 360°가 되어 평면이 되고 만다. 따라서, 정육각형 이상은 정다면체의 한 면이 될 수 없다. 다음으로 정삼각형, 정사각형, 정오각형으로 각각 정다면체를 만들 수 있다. 이렇게 차근차근 생각해보면 정다면체는 딱 5형제뿐이란 사실을 알 수 있다. 그런데 이런 사실은 이미 그리스 시대 사람들도 알고 있었다고 한다. 정다면체가 5가지뿐이라는 사실이 몹시 신기했던지 플라톤은 우주를 구성하는 4가지의 원소를 정다면체와 대응시켰다. 흙-정육면체, 불-정사면체, 공기-정팔면체, 물-정이십면체 등 정다면체를 하나씩 대응시켜 정십이면체가 우주를 상징한다고 믿었다고 한다.

 나. 쥬라기공원

  영화 [쥬라기공원]에는 큼지막한 안경을 쓴 말콤이란 수학자가  등장한다. 그는 멸종한 공룡을 되살려 자연을 통제하려는 인간의 의도가 헛된 것임을 [카오스(혼돈) 이론]으로 설명한다. 다양한 변수 때문에 미래의 사건은 예측하기 어렵다는 것을 설명하는 이론이다. [비선형 수학]에 근거를 두고 있는 이 이론은 그간 수학이 일구어 내고 파생한 셀 수 없이 많은 학문과 이론 중 하나이다. 카오스 이론은 18세기말 푸앵카레라는 프랑스 수학자의 아이디어에서 출발했다.<mathlove 발췌>

다. 콘택트

  영화 ‘접촉’은 조디 포스터 주연의 지구문명탐사를 주제로 한 영화이다. 엘리는 8살에 이미 천문학자가 되겠다고 결심한 소녀로 우주 내에 수백만 개의 문명이 존재한다고 생각하는 과학자이다. 한편, 팔머는 제3세계 교회의 영향력에 관심이 있는 신학자로서 이 둘은 공청회에서 "신을 믿나요?"하며 엘리에게 묻지만 엘리는 "경험적 증거를 사실로 인정한다" 라고 말한다. 이는 "신을 안 믿는다"라는 말과는 다르다. 엘리의 "신의 존재를 증명하라"는 요구는 "돌아가신 아버지를 사랑하냐"고 했을 때 "그렇다"라고 답한 것과 팔머가 "prove it"이라고 한 것과 같다. 증명이란……<박제남 교수 강의노트>

라. 스피드

  폭탄이 장착된 달리는 버스, 시속 50마일 이하로 속도가 떨어지면 자동폭파되는 폭탄버스. 이 영화에서는 유난히 자동차 계기판을 자주 보여준다. 운전석에 있는 계기판의 숫자들을 보라. 속도계는 달리는 자동차의 순간마다의 속도가 제시된다. 미적분이란 무엇인가. 한마디로 말하면 미분은 자동차의 속도계, 적분은 자동차의 거리계의 원리이다. 적분은 자동차의 거리계처럼 그것이 달린 전체의 양 또는 총체의 양을 구하는 일이며 곱셈을 확장시킨 것이다. 미분은 속도(거리/시간)의 계산에서 나타나는 것처럼 나눗셈을 확장한 것이다.<한양대 김용운교수>

마. 매트릭스

  매트릭스란 무엇인가. 그것은 인간의 두뇌로는 도저히 알 수 없는 기계들이 세상을 지배하는 허상과 같은 움직이는 암호와도 같다. 거대한 행렬로 조작된 거짓의 세계가 바로 미래 인간들의 현실이고, 기계들은 그 에너지원으로 인간을 소모하고 지배한다. 행렬이 발생하게 된 이유는 군부대에서 미사일 만드는데 필요한 재료량을 주문하고 그 가격에 이해관계를 따져 보는데 일일이 표로 만들어 계산하는게 귀찮아서 숫자만으로 간략화시킨데서 나타났다고 한다. 표 하나라면 괞찮겠지만, 이런 비슷한 표가 여러 개가 되면 귀찮을 수도 있으니까…….

 바. 큐브

  긴장을 멈추지 마라. 17,567개의 벽이 당신을 향해 조여온다! 어떻게 나가야하나.. 암호가 풀린다. 비밀은 숫자! 각각 방 입구마다 매겨진 번호가 소수임을 확인한다. 오늘날 암호학의 근간이 되는 수학이론은 거대한 소수를 사용한다. 어떤 수가 소수인지 아닌지 확인하기 위해서는 소인수분해를 해봐야 되는데. 보통사람들은 네자리, 다섯자리만 되어도 연필과 종이만으로는 곤란하게 된다. 그래서 거대한 소수를 알기 위해서는 특수한 수학적 기법을 이용해 컴퓨터로 확인 절차를 거치게 된다. 오늘날 미국의 수학자들이 가장 많이 일하는 직장은 정보기관과 투자금융 회사이다.<박상준, 과학해설가>

사. 굿윌헌팅

  천재는 과연 타고나는 것일까. 이 영화의 주인공 윌 헌팅은 세상에 맘을 열지 못하는 심리적 장애를 가진 MIT공대의 청소부이다.  하지만 이 윌 헌팅은 MIT공대생들도 쩔쩔매는 수학 문제를 쓱 풀어내는 비상함을 지녔다. 수학계의 베토벤이라 불리는 오일러도 보이지 않는 상황에서(지나친 연구 몰입으로 인한 실명) 암산으로만 계산하고 증명하였다고 한다. 데카르트도 군대시절 막사의 천장을 바라보며 4분좌표를 떠올렸다고 하니.. 타고난 수학 천재 덕분에 자연과학이 발달했지만, 많은 학생들이 이들 덕분에 힘겹다.  ^^

아. 카지노

  󰡐도박하는 자는 모두 불확실한 것을 얻기 위해 확실한 것에 건다󰡑 불확실한 것에 승부를 거는 인간의 사행심 때문에 끊임없이 발전해 온 것이 도박이라고 한다. 도박은 어느 문화권에나 있었다. 그러나 도박에서 확률론이라는 수학이 시작된 것은 독특한 철학에서 비롯되었다. 서양에서는 어떠한 현상에서라도 숨어있는 배후가 있다는 믿음과 그 법칙성을 발견하고자 하는 문화적 전통이 있었다. 서양사람은 자연에서 일어나는 모든 현상을 자세히 설명할 수 있다고 생각했다. 이런 신념이 도박장에서 확률론을 탄생시킨다. 동전을 던질 때 앞이냐 뒤냐, 태어나는 아이는 남자냐 여자냐는 확률은 1/2이다. 심지어 파스칼 은 `신이 있느냐 없느냐'는 종교까지도 확률로 계산했다.<한양대 김용운 교수>

6. 암호 속에 숨겨진 숫자비밀

  생활이 복잡하여지기 시작하면서 점점 비밀번호 때문에 속을 썩이는 경우가 많아진다. 은행거래마다 비밀번호가 필요하고 텔레뱅킹으로 처리하자니 또 다른 비밀번호가 있어야 한다. 더군다나 생년월일이나 집 주소와 같이 쉽게 노출이 되는 숫자나 같은 숫자가 반복되는 숫자는 비밀번호로 등록이 되지 않으니 좋아하는 숫자를 억지로 만들어 외워야만 하게 되고 이에 따라 삶이 더 복잡해지고 만다.

  인터넷 사이트에 들어가려고 해도 비밀번호가 반드시 요구된다. 4자리 숫자는 다른 사람한테 노출되기 쉬우니 6자리 이상으로 하고 그것도 불안하니 영문자나 특수문자를 섞으라고 한다.

  게다가 비밀번호를 다 똑같이 할 수도 없는 노릇이니 그 많은 번호들을 외우기 위해서는 수첩에다 적을 수 밖에 없다. 그러나 어디다가 적어 놓게 되면 적는 순간 더 이상 비밀번호 노릇을 하지 못하게 되는 것이 아닌가.

  이러한 불안을 해소해 주는 방법이 있다. 수첩에 비밀번호를 적어 놓아도 안심이다. 만일 여러분이 사용하는 네 가지 비밀번호가 2001 0509 4885 0390이라 하면 수첩에다는 4346 7298 7230 7179라 적어 놓는다. 새로운 숫자는 그 속에 암호를 풀 수 있는 열쇠를 포함하고 있기 때문에 열쇠 숫자만 본인이 기억하고 있으면 자신의 비밀번호 개수가 아무리 많이 있다 하여도 다른 사람이 이를 알아내기가 쉽지 않기 때문에 암호화된 가짜 비밀번호를 마음놓고 수첩에 적어 놓을 수가 있는 것이다.

  위의 예에서 열쇠 숫자는 2345 6789 2345 6789이다. 이 열쇠 숫자를 본래의 비밀번호에다 더한 값을 수첩에 적은 것이다. 열쇠 숫자가 달라지면 수첩에 적어 놓는 암호화된 숫자는 당연히 달라지므로 주민등록번호나 98765와 같이 본인이 외기 쉽고 좋아하는 숫자를 열쇠 숫자로 활용하면 된다.

  만일 영문자가 섞여 있다면 수첩에 적을 때 영문자 역시 열쇠 숫자에 해당되는 수만큼 다음에 나오는 영문자를 써 놓으면 될 것이다. 가령 비밀번호에 c 와 k 가 들어 있는데 해당되는 열쇠 숫자가 각각 4와 2라면 c 대신에 g, k 대신에 n을 써 놓던가 이것이 복잡하면 단순히 영문자는 다음 자나 다음 다음자 정도로 대치해도 무방할 것이다.

7. 재미있는 통계이야기(평균이 사람 잡는다)

  평균은 전체적 모양을 나타내는 좋은 방법이다. 그러나 평균만으로 전체를 나타낼 수 없는 경우가 많다. 집단의 평균은 집단내의 구성원들이 어떻게 서로 다른지를 보여주지 못한다. 또 서로 어느 정도 흩어져 있는지를 말해 주지 못한다. 예컨대 어느 농촌 동네의 평균소득이 연간 6백만원이라 하고, 또 다른 동네의 평균이 역시 6백만원이라고 가정해 보자. 이 때 평균소득이 같다고 해서 이 두 동네의  수입 정도가 꼭 동일하다고 할 수는 없다.

  첫 번째 동네는 모두 소득이 비슷한데 두 번째 동네는 부유한 지주와 가난한 소작인들이 섞여 산다고 하면, 평균소득은 이런 경우를 설명해 줄 수가 없다. 이 때에는 분산이라고 하는 흩어진 정도를 나타내는 통계가 활약해야 한다.

  다소 과장된 우스운 예가 있다. 한 사람이 왼손은 -30°C의 냉동실에 넣고, 오른 손은 70°C나 되는 뜨거운 오븐 속에 집어넣었다고 상상해 보자.

  이 때, 평균이 20°C라고 해서 이 사람이 아주 편안한 기분을 유지하고 있다고 한다면 우리는 뭔가 " 비정상"이라고 생각할 것이다.

  또 다른 예는 평균이 생사람을 잡는 경우가 있다. 1920년대 중국은 내전으로 전운이 감돌고 있었다. 이 때 병사들을 이끌고 적진을 향해 진격하고자 한 한 장수가 눈앞에 큰 강을 만나게 된다. 장수는 참모에게 강의 평균 수심이 얼마냐고 묻는다. 참모의 답변은 평균수심이 140cm라고 한다. 장수는 평균수심이 140cm이고 병사의 평균키가 165cm이므로 걸어서 행군이 가능하다고 판단, 진격을 명한다. 그러나 강의 가운데의 수심은 병사의 키보다 훨씬 깊어서 모두 물에 빠져 버렸다는 이야기도 있다. 강을 건너는 데는 평균수심이 아닌 가장 깊은 곳의 수심이 문제가 된다.

  위의 예에서 보듯이 평균만으로는 전체적인 양상을 파악하기 어렵다. 따라서 분산이나 표준편차가 중요한 역할을 하는 보조적인 통계가 된다.