8. 선거 때 당선자 예측조사는 어떻게 이루어질까?
선거철만 되면 신문마다 어떤 후보가 당선할지 여론조사 결과를 내보낸다. 놀라운 것은 누가 누구를 얼마나 앞설지 예상한 것이 실제 결과와 크게 다르지 않다는 점이다.
여론조사는 통계와 확률을 이용한 예측이다. 통계와 확률을 이해하려면 우선 모집단, 무작위 추출 등 몇 가지 용어를 알아야 한다.
가마솥에 동네 사람 모두를 먹일 수 있는 국을 끓이고 있다고 가정하자. 솥에 들어있는 국 전체가 모집단이다. 국의 간을 보려고 한 국자 떠냈다면 그것이 표본집단이 된다. 국을 뜨기 전에 국자로 국을 휘저었을 텐데, 무작위 추출에 필요한 표본의 동질성 유지를 위한 과정이라고 할 수 있다.
이제 선거 이야기로 돌아가 보자. 우리나라 전체 국민 가운데 선거권자는 3천만 명이 넘는다. 그렇다면 누가 당선할지 알기 위해 얼마나 많은 사람들을 표본으로 추출해야 할까?
여론조사기관에서는 지난 대선 때 1천 5백명(0.005%)만 뽑아 투표결과를 예측했다.
3천 5백만명 중 1천 5백명을 어떻게 선정할까?
전국의 지역별로 선거권자 수를 알아보고 해당 지역마다 1천 5백명에 비례하는 숫자만큼 선정한다. 표본을 추출할 때 누구나 뽑힐 가능성이 동일하도록 여론조사기관에서는 특별한 방법을 동원한다. 가령 전국의 집이 모두 일렬로 늘어서 있다고 가정하고 일정 간격을 정해 뽑는 식이다.
이렇게 추출한 1천 5백명이 어떤 후보에 투표할지 조사했다고 하자. 실제 선거 결과도 이와 일치할까?
표본집단을 정확하게 선택하고 선정한 사람들이 솔직하게 답했다면 결과는 정확할 수 밖에 없다. 하지만 결과가 예측과 늘 일치하지는 않는다. 이런 가능성을 오차라고 한다.
그래서 예측 결과를 발표할 때 오차범위를 "K후보 지지도 40.3%, L후보 지지도 39.9%로 표본오차 95% 신뢰수준에서 ±2.0%" 라는 형태로 제시한다.
즉, 표본오차가 "±2.0%" 라는 말은 K후보 지지도가 38.3%에서 42.3% 사이에 있을 수 있다는 의미로 결과가 예측한 값보다 2% 클수도 있고, 2% 작을 수도 있다는 말이다.
또한 "95% 신뢰수준"이란 같은 일을 100번 반복했을 경우 95번(95%)은 오차 범위(±2.0%")안에 있다는 뜻이다.
오차를 고려하면 위의 결과는 당선자가 바뀔 수도 있고, 애초의 예측보다 더 큰 차이가 날 가능성도 있다. 그런데 이렇게 부정확한 예측을 왜 할까? 비용과 시간을 절약하기 위해서다.
9어렸을 때 한번쯤은 바닷가에서 모래 한 가운데 깃발을 꽂아 놓고 모래를 번갈아 끌어가는 놀이를 하며 깃발을 쓰러뜨리지 않으려고 무던히 애를 쓰던 경험이 있을 것이다. 젖은 모래가 아닌 잘 마른 모래로 이 놀이를 해 보자. 모래가 어느 정도 높이 쌓이게 된다. 더 이상 높이 쌓이지 않게 될 때 그 각도는 자연스럽게 51°를 이룬다. 피라미드의 경사가 51°인 것처럼 인간이 이루어 놓은 것 중에는 자연으로부터 배운 것이 많다. 이 자연스럽게 흘러내리는 모래를 이용하여 수학을 배워보자.
가. 수직이등분선
2개의 스피커에서 소리가 나고 있다. 스피커에서 출발한 음파는 어떻게 만나는가? 또 잔잔한 물에 2개의 돌을 동시에 던져보자. 2개의 물결이 만나는 곳은 어떤 모습인가? 음파, 물경은 2개의 동심원이 점점 커가면서 만나는 모양이다. 두 개의 구멍으로 모래를 흘려도 이와 비슷한 현상이 일어난다.
양손에 모래를 쥐고 나란히 모래를 흘려보자. 모래는 원뿔모양으로 쌓일 것이다. 두 원뿔 모양의 모래산이 만나도록 가까이에서 모래를 흘리면 모래산이 만나는 곳에 선이 생기는 것을 볼 수 있다. 이 때, 모래산이 만나서 생기는 선은 모래산의 두 꼭지점을 이은 선을 수직이등분하는 것을 볼 수 있다. 물론, 이 때 두 모래산의 모래의 양이 같아야 한다.
나. 삼각형의 외심
이 원리를 이용하여 삼각형의 외심을 모래로 관찰할 수 있다. 외심기에는 삼각형의 꼭지점에 해당하는 곳에 구멍이 있어서 이곳으로 모래가 쏟아지게 되어 있다. 예각삼각형을 선택하여 모래를 쏟아지게 해 보자. 구멍(꼭지점)으로 쏟아 내린 모래는 원뿔 모양의 모래산을 이루게 되며 이것들이 만나서 세 수직이등분선이 생긴다. 모래가 충분히 많이 흘러내리면 세 수직이등분선이 한 점에서 만나게 되는 것을 관찰할 수 있는데 이 점이 외심이다.
수직이등분선이나 외심을 관찰할 때 외심기 아래 부분에 쌓인 모래를 관찰해도 되고 윗 부분에 원뿔 모양으로 파인 모래를 관찰할 수도 있다.
다. 삼각형의 내심
삼각형 판 위에 모래를 부으면 어떻게 쌓일까? 삼각형 판 위에 모래가 흘러내릴 정도로 충분히 쌓이면 그 모양은 피라미드 형태로 될 것이다. 이 때, 모래는 삼각형의 가장 자리로 흘러내리게 되므로 삼각형의 가운데 부분이 가장 높게 쌓이게 된다. 여기서 삼각형의 가장자리는 삼각형의 변이다. 그러면 '삼각형의 가운데 부분'은 어느 부분일까? 어느 한 각(∠A) 근방에서는 가장 가운데가 ∠A의 이등분선이므로 모래는 ∠A의 이등분선을 따라 가장 높게 쌓이게 된다. 나머지 두 각(∠B, ∠C)에 대해서도 마찬가지이다. 모래를 충분히 많이 부으면 세 각이 이등분선을 따라 모래가 높이 쌓이고 세 모서리가 한 점에서 만나는 것을 볼 수 있다. 이 점을 삼각형 판 위로 사영시키면 삼각형의 내심이 된다.
10. 에라토스테네스의 체
1에서 50까지의 자연수 중에서 소수들을 가려내 보자. 먼저 1에서 50까지의 수를 차례로 쓴다. 우선 1은 소수에서 제외되므로 지우고, 다음에 나타나는 2를 남기고, 2의 배수들을 지워 나간다. 이어서 2 다음에 나타나는 3을 남기고, 3의 배수들을 지워 나간다. 또, 3 다음의 5를 남기고 5의 배수를 지우고,…의 순서로 지워 나갔을 때, 남는 수들이 소수이다.
실제로 소수를 구해 보면 100을 넘어서면서부터는 그 수가 급격히 줄어드는 것을 알 수 있다.
그렇다면 과연 소수는 몇 개쯤이나 될까? 유한개일까? 무한개일까?
그리스의 대 수학자 유클리드는 무한개라고 자신있게 말했다. 유클리드의 증명을 알아보자.
만일 소수의 개수가 유한개라면 가장 큰 소수가 존재할 것이므로 그 최대 소수를 M이라 하고 다음과 같은 식을 만들어 보자.
(∴7은 2, 3의 배수가 아니다.)
(∴31은 2, 3, 5의 배수가 아니다.)
(∴211은 2, 3, 5, 7의 배수가 아니다.)
(∴2311은 2, 3, 5, 7, 11의 배수가 아니다.)
(
는 2, 3, 5,…, M의 배수가 아니다.)
여기서 자연수 
는 소수이거나 합성수이어야 한다. 만일 
가 소수라면 M이 최대 소수라는 가정에 위배되고, 
가 합성수라면 
는 소수들의 곱으로 분해할 수 있으므로 
를 분해하는 M보다 더 큰 어떤 소수가 있어야 한다. 이것 역시 M이 최대 소수라는 가정에 위배된다. 따라서 소수는 무한개다.
그런 중에서도 어떤 소수들은 재미있는 형태로 되어 있다. 다음에 있는 수처럼 연속하여 있는 소수를 쌍둥이 소수(쌍자소수) 라고 한다. (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), …
이와 같은 짝은 1부터 200사이에 몇 개나 있을까? 실제로 여러분이 직접 해 보자.
답) 100에서 200까지의 쌍자소수:
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199) 를 포함해 10개이다.
소수의 발생은 분포 상태가 불규칙적이라는 것을 다음 표를 보면 곧 알 수 있다.
|
범 위 |
소수의 개수 |
분포율(%) |
|
0 ～ 10 |
4 |
40 |
|
0 ～ 100 |
25 |
25 |
|
0 ～ 1000 |
168 |
16.8 |
|
0 ～ 10000 |
1229 |
12.3 |
|
0 ～ 100000 |
9592 |
9.6 |
|
0 ～1000000 |
78498 |
7.8 |
위의 표와 같이 그 범위가 넓어지면 넓어질수록 소수의 분포율이 적어진다는 것이다. 소수에 대한 순수한 연구와 사색은 겉으로 보기엔 무익한 것처럼 보이나 실제로는 신용카드와 원거리 통신, 국가 안보 등에 깊숙이 관련되어 있고, 또 큰 소수를 발견하기 위한 노력이 계속되고 있다. 1996년 미국의 크레이연구소가 발표한 바에 의하면 현재까지 발견된 소수 중 가장 큰 것은 한 번 적는 데만도 신문 12개 면이 필요한 37만 8천 6백 32 자리의 수로 알려져 있다.
지구가 둥글다는 것은 지금은 누구나 다 잘 알고 있는 사실이지만, 확실히 밝혀진 것은 약 500년 전 콜룸부스와 미젤란의 목숨을 건 항해에 의해 밝혀졌다.
그러나 지금으로부터 2000년보다도 더 먼 옛날, 지구가 둥글다는 것을 안 것은 말할 것도 없고, 지구의 크기까지 계산한 사람이 있었다. 그 사람이 바로 에라토스테네스(BC 273～192)였다. 그는 고대 그리스의 수학자이며 천문학자이고 지리학자이기도 했다. 별로 신통한 측량 기계도 없던 시대에 그가 정확히 지구의 크기를 측정한 것은 오직 수학의 힘이라고 밖에 말할 수 없다.
그는 하지가 되면 이집트의 시에네에 있는 어느 우물 바로 위에 태양이 오고, 거기서부터 900㎞정도 떨어진 알렉산드리아에서 같은 시간에 태양을 쳐다보면 7.2도 기울어진다는 사실을 알았다. 그래서 "원호의 길이는 중심각에 비례한다."라는 이론을 이용하여 (지구 둘레) : 900㎞ = 360°: 7.2°라고 밝혔는데, 지금 우리가 알고 있는 값 40,077㎞와 비교하면 얼마나 정확한 가를 짐작할 수 있을 것이다.
12. 경품 받을 확률은?
경품 광고가 쏟아지고 있다. 종류도 갈수록 고가로 치달아 자동차는 기본이고 현금 5억원을 당첨금으로 내놓은 곳도 생겨나고 있다. 최근엔 인터넷을 통한 경품행사가 폭발적으로 늘어나 청소년들까지 뛰어들고 있다. 『클릭 한번 잘하면 억대의 돈이 굴러 들어온다』는 선전문구에 어른 아이 할 것 없이 귀가 솔깃해진 것이다. 이처럼 경품 열기가 과열되면서 사회적 폐해도 커지고 있다고 전문가들은 우려하고 있다. 「요행을 바라는 사회」로 빠져들고 있는 지금의 세태를 집중 취재했다.
가. 실태
요즘 경품의 종류는 자고 나면 새로운 것이 나올 정도로 홍수처럼 쏟아지고 있다. 주식에서부터 성형수술권, 우주여행권에 이르기까지 갖가지 아이디어가 백출하고 있다. 20년 전 한 백화점이 창립행사를 가질 때 껌 한통을 경품으로 제공한 것과는 비교조차 할 수 없다.
지난해엔 아파트가 고가 경품의 주류를 이루더니 올해엔 인터넷 업체들이 경품시장을 주도하면서 고액 현금이 유행이다. 인터넷 쇼핑몰을 운영하는 「골드뱅크」는 얼마전 1백만번 째 회원에게 1억원을 안겨줬고 (주)닉스도 인터넷 주소명을 공모해 1등에게 3억원을 주기로 했다.
나. 경품의 허점
최근 한 인터넷업체는 『회원으로 가입하면 추첨을 통해 당첨자에게 5억원을 준다』고 선전했다. 방식은 회원 개개인이 각각 다른 9자리 숫자를 선택하면 21주 동안 매주 임의의 9자리 숫자를 2개씩 추첨하는 것이다. 이 업체는 매주 당첨자가 2명씩 나올 수 있다며 행사이름을 「2백 10억 이벤트」라고 지었다. 그러나 실제 한 주의 추첨에서 당첨될 확률은 수학적으로 10억분의 1에 불과하다. 이 업체가 상한선으로 잡은 10만명이 매번 추첨에 참여한다고 가정했을 때 당첨자가 나올 확률은 0.02%, 그러니까 추첨을 5,000번 해야 한번 당첨자가 나온다는 계산이다. 한 수학전문가는 『매번 2명씩 총 42명의 당첨자가 모두 나올 확률을 구하려면 계산기엔 표시할 수도 없을 만큼 0의 행진이 계속된다』고 말했다. 실제 이 업체는 그동안 7차례 추첨을 통해 4만여 명의 회원을 확보했으나 한번도 당첨자는 나오지 않았다. 이밖에 눈이 거의 오지 않는 남부지방에서 화이트 크리스마스가 되면 경품을 준다는 등 무리한 경품행사도 종종 나타나고 있다.
다. 폐해
경품에 드는 비용은 어떤 식이든 결국 소비자가 부담할 수밖에 없다. 경품이 「밑져도 본전」은 아닌 셈이다. 한국소비자연맹이 조사한 바에 따르면 소비자의 43.6%는 경품 응모권을 얻기 위해 추가로 물건을 구입한 경험이 있었다. 경품이 충동구매의 요인이 되는 것이다. 보다 심각한 문제는 경품 응모 때 전화번호 등 개인정보가 종종 유출된다는 데 있다. 인터넷 경품사이트에 전자메일 아이디를 공개했다가 광고 메일이 쏟아져 고생하는 사람은 흔하다.
라. 법적 한계
경품의 폭발적 증가는 올해부터 규정이 완화된 데서 비롯된다. 새 규정은 「횟수에 상관없이 예상매출액의 1%이내」에서 경품을 제공할 수 있도록 허용하고 있다.
이에 대해 「소비자문제를 연구하는 시민의 모임」 김애경 국제부장(37)은 『백화점의 연 매출액이 수천억원이 되는 상황에서 「매출액 1%이내」 규정은 경품을 무한정으로 허용하는 것』이라고 비판했다.
13. 고스톱 재미나게 치기
고스톱은 왜 항상 세 명만 치는 걸까? 네 명이 치면 안 되는 것일까? 여기에 대한 답은 밑에 있다.
먼저 일반적으로 세 명이 치는 경우이다. 한 사람에게 주는 화투장 수를 a라 하고 바닥에 까는 장수를 b라 했을 때, 가능한 a, b의 쌍이 우리가 구하는 해가 된다. 해의 조건은 바닥에 엎어놓는 화투장의 수에서 얻을 수 있다.
우선 화투장의 총 수는 48(=4×12)이므로 바닥에 엎어놓는 화투장의 수는 48-(3a+b)로 나타낼 수 있다. 그런데 이것은 세 사람에게 처음에 나누어준 화투장의 총수 3a와 완전히 같아야한다.(왜? 나가리가 되지 않기 위해서^^) 즉, 48-(3a+b)=3a…(*)에서 b=48-6a=6(8-a), 그렇다면 a는 8보다 작은 자연수이고 이 때 b는 6의 배수이다. 따라서 가능한 첫 번째 해는 a가 7일 때 b는 6, 일반적으로 패를 돌리는 경우이다. 좀 더 화끈한 화투를 치고 싶다면 a=6, b=12인 방법으로 패를 돌리면 되겠다. 먹을 게 없어서 고민할 확률이 줄어 들겠지요^^. 물론 선의 동의가 필요하겠지만. 이론적으로는 a=5, b=18 등이 가능하겠지만 실전으로 삼기에는 무리겠습니다.(경험적 사실!)
두 명이 맞고를 치려고 한다면 식(*)을 변형하면 되겠다. 즉 48-(2a+b)=2a에서 b=4(12-a)를 만족하는 (a, b)를 구하면 된다. (11, 4), (10, 8), (9, 12)…등이다. 일반적으로 치는 방법은 두 번째 해인데 변화를 추구한다면 방법은 많은 셈이다. '광 팔기'는 세 명이 치는 것이 가장 재미있게 칠 수 있다는 전제하에 같이 치지 못하는 사람들에 대한 심리적, 금전적 보상의 성격이 짙다. 만약 광 팔기 없이 다 같이 치려면 어떻게 패를 나누어야 할까? 네 명이 치는 경우라면 바닥에 8장 깔고 한 사람 당 5장 씩 잡으면 큰 무리는 아닌 것 같다. 다섯 명이 함께 치려면 바닥에 8 장 깔고 손에 4장 씩... 아무래도 3점내기 힘들겠다. 하여튼 다음에 여럿이 모여 고스톱을 칠 때 칠 만 한지 한 번 시도해 보자. 광 파는 친구가 심심하다고 느낄 때^^.즐고(스톱) 하세여^^
14. 실생활에서 활용되는 함수들
실생활에서 여러가지 대응 관계 중 함수가 되는 것의 예와 일대일 대응, 역함수 상수함수의 예를 들면 다음과 같다.
가. 함수의 예
문방구에 있는 물건들의 집합을 정의역으로 하고 자연수의 집합을 공역으로 하여, 각 물건에 그 물건의 값을 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
우리나라 전체 국민의 집합을 정의역으로 하고 자연수의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 주민등록번호의 뒷부분으로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
우리나라 고등학(중학생)생 전체의 집합을 정의역으로 하고 우리 나라에 있는 고등학교(중학교) 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 자신이 다니는 고등학교(중학교)로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
서울대공원에 있는 모든 동물의 집합을 정의역으로 하고 정수의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 그 동물의 다리의 개수로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
나. 일대일대응의 예
음료수 자판기의 버튼 전체의 집합을 정의역으로 하고 그 자판기에서 파는 음료수의 집합을
공역으로 하며, 함수값을 그 버튼을 누를 때 나오는 음료수로 정하여 대응시키면 일대일 대응이 된다.(여기서는 같은 종류의 음료수가 나오는 버튼이 여러개 있는 자판기는 제외된다.) 사다리 타기 내기에서 내기에 건 금액이 각각 다를 때, 내기를 한 사람 전체의 집합을 정의역으로 하고 내기에 걸린 금액 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값은 사다리로 연결된 금액으로 정하여 대응시키면 일대일 대응이 된다.
다. 역함수의 예
위의 일대일 대응에 관한 예에서 공역과 정의역을 바꾸어 대응시키면 역함수가 된다.
라. 상수함수의 예
어떤 좌석버스를 타고 있는 승객 전체의 집합을 정의역으로 하고 자연수 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수 값은 각 승객이 낸 요금으로 정하면 함수 값의 집합은 원소가 하나이므로 이 대응관계는 상수함수가 된다.(단, 모든 승객의 승차 지점과 하차 지점은 같다.) 우리 반 학생 전체의 집합을 정의역으로 하고 우리 학교에 재직하고 계시는 선생님 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수 값을 자기 담임 선생님으로 정하면 우리 반 담임 선생님은 한 분이므로 이 대응관계는 상수함수가 된다.
15. 복권에 당첨될 확률은 얼마일까?
우리는 일상생활에서 대 행운을 꿈꾼다. 대 행운을 위해서 흔히 찾는 것이 복권이다. 돼지꿈을 꾸면 누구나 들리는 곳이 복권을 파는 곳이다. 그러나 1등의 당첨은 전 국민 중에 1명밖에 당첨이 되지 않는다. 그만큼 엄청 힘든 확률이다.
우리나라에는 수많은 복권들이 있다. 추첨식 복권과 즉석복권 등 엄청나게 많다. 그 중에서 주택복권의 경우를 예로 들어서 설명해 보겠다. 주택복권은 1등은 150,000,000원이다. 한 명에게 주어진다. 그리고 2등은 2명에게 주어진다. 금액은 50,000,000원이다. 그리고 3등 ～ 6등까지 있다. 그리고 행운상, 보너스 등이 있다. 표로서 설명을 다시 하겠다.
|
순 위 |
금 액 |
조 건 |
비 고 | |||||||||
|
1 등 |
150,000,000 |
○조 ○○○○○○ |
| |||||||||
|
2 등 |
50,000,000 |
○조 ○○○○○○ ○조 ○○○○○○ |
2번 추첨 | |||||||||
|
행 운 상 |
1,000,000 |
1등과 조만 다른 경우 |
| |||||||||
|
3 등 |
2,500,000 |
각조 ○○○○○○ |
| |||||||||
|
4 등 |
5,000 |
각조 ○○○ |
마지막 세자리수 | |||||||||
|
5 등 |
1,000 |
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