[스크랩] 미분 적분 시계열 프랙탈

Re: 뉴턴의 미분과 적분의 발견 경위와 내용에 대해서좀 알려주세요
센스 멋쟁이님 작성 | 답변채택률: 47/6129 작성일: 06-05-03 10:04

신고
미적분이 발명된 동기
뉴턴은 물체의 운동과 그 변화(예를 들면 자동차가 간 거리, 자동차의 속도, 가속도)를 구하기 위해서 미분법을 만들었습니다.
라이프니츠는 곡선의 기울기등과 같은 문제를 구하기 위해(예를 들면 기울기의 변화량 같은거죠) 만들었습니다.
그런데 뉴턴과 라이프니츠는 동시대에 살았었고 그들의 라이벌 의식이 대단했다고 하네요....

그래서 뉴턴과 라이프니츠는 미분법의 원조(?)의 자리를 놓고 엄청 싸웠으며 100년동안 그들의 제자들이 싸웠다고 합니다. 결국 영국학회에서는 두 사람이 독립적으로 발견한 것을 인정하여서 이 싸움을 마치게 됩니다.(현대에는 뉴턴이 더 알려져 있지만 라이프니츠도 뉴턴에 못지않은 과학자이자 수학자 였습니다.)

그리고 적분은 아르키메데스가 적분학의 바탕을 마련하였으며 1700여년 뒤 갈릴레오 갈릴레이가 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산하기 위해 임의적으로 도형을 만들어 그 합을 구해나가는 방법을 써서 도형의 넓이를 구하는 것이 정적분의 바탕이 되었습니다.
그런데 적분은 미분의 역산법임을 다른 수학자가 증명해내서 지금의 적분법이 나오게 된것입니다.

그리고 미적분은 우리생활에 많이 있습니다.
한강다리도 미적분에 의해서 만들고, 군대에서 대포 최대 사정거리 등을 구할 때도 사용되며 어떤 물체의 중심점에 대해서 찾는 것에서등 대부분의 건축물은 거의 미적분이 존재한다고 생각하시면 됩니다.
미적분이 인간에게 끼친 영향은 과학기술 발전의 기초가 되었으며
자연현상, 공학현상을 연구하는데 미적분은 언어의 역할을 하고 있다.

펌 http://secretbook.egloos.com/2399348/

옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다.
그 마을의 이름은 자연수 마을. 즉 natural number village였다.
그런데 어느날 마을에 미분 귀신이 나타났다.
미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들었다.
마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네사람들이 반상회를 개최하였다.
몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 방정식 마을에 구원을 요청하기로 하였다.
이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 x^2장군을 자연수 마을에 급파하였다.
전투 시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 x^2장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신...
그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.
그러자 방정식 마을에서는 x^3장군을 급파하였다.
그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다.
단 4번의 미분에 그만 작살이 나고야 말았다.
당황한 방정식 마을에서는 x^n참모총장마저 보내는 초강수를 택하였으나 그 역시 n+1 번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다. 이제 아무도 미분 귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나....
방정식 나라에는 마지막 희망 sinx,cosx 두 장군이 있었다.
좌 sinx, 우 cosx 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다.
미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다.
아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는 sinx, cosx 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다.
그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내어 cosx 장군을 미분시켜 sinx 장군에게 던져버린 것이다.
마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부디쳐서 그만 자폭하고 말았다.
일이 이쯤 되자 방정식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.
그런데 전설적인 용병이 등장하였다. 그의 이름은 바로 exponential 검신이었다.
그가 가진 e^x 라는 무기는 미분 귀신이 수백번의 미분을해도 전혀 손상되지 않았기 때문이다.
미분귀신은 당황하기 시작하였다.
이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다.
하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 패하고 말았다.

글쎄....

그 미분귀신이...

y 로 편미분을 해버리고 말았던 것이다...

우리의 미분귀신이 exponential함수 e^x를 죽이고 미분에 싫증을 느낀 나머지 자연수 나라를 떠났다.
마침내 평화가 찾아온 자연수 나라.. 그러나, 아....! 평화란 지속될 수 없는가?
이번에는 이 나라에 적분귀신이 나타나 자연수들을 닥치는 대로 적분을 시작했다!
적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면, 출처가 불분명한 C(적분상수)라는 것들을 대량으로 만들어내었고, 심지어는 x로 적분한뒤 다시 y로 적분해 xy라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는 것이었다
이제야 평화가 오는가 했던 자연수 나라의 촌장은 아연실색을 하며 옆 마을 다항식의 나라에 도움을 청했다. 그러나 다항식의 나라는 적분귀신은 자국에 도움이 된다며 이를 거절했다. 심지어 '적분귀신을 환영합니다'
라는 플랭카드를 내걸기도 하였다. 자연수왕은 얼마 안 남은 순수 자연수들을 모아 대책회의를 열었다. 회의 결과 다시 미분귀신을 불러야 한다는 의견이 나왔다.
그러나 미분귀신을 부르면 그들조차 막대한 피해가 있기에 그들 사이에서도 의견이 분분했다.
결국 미분귀신을 부른 후 순수 자연수들만 비밀 아지트에 숨기로 하고 미분귀신을 불렀다.
다시 자연수 마을에 온 미분귀신..!
일단 상수 C들을 닥치는 대로 죽이고, 다항식들을 죽이기 시작했다.
거의 모든 다항식들이 죽어갈 무렵, 미분귀신 앞에 적분귀신이 나타났다.

적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자"
미분귀신 "좋다(흐흐.. 내겐 편미분이라는 무기가..)"

그.러.나...

적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수 다항식 Lim a1*a2*....*an 이었다. n->∽
아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들..

미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오..-_-;;"
적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!"

눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가...

미분귀신 "어.. 어떻게?-_-;;;"
적분귀신 "......."

그렇다...
적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다...

적분귀신은 정말 대단했다.
승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할만한 상대가 자연수 마을에서는 더이상 존재하지 않았다.
여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여 적분귀신을 물리칠 동지를 찾아 나섰다.
정수마을, 유리수마을, 실수마을, 심지어 그 복잡하다는 복소수(complex number)마을까지...
그러나 미분귀신은 더이상 동지를 찾을 수 없는듯 했다.

"수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는것인가?..."

자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다.
실수 및 복소수 마을에서 continuous function들이 어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산 조각이 나는 것이었다.
"저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다.
자세히 보니 그놈은 delta function 였다.
연속함수들을 sampling을 통해 discrete function으로 만들고 있었던 것이다.
며칠 후...
자연수 마을로 돌아온 미분귀신은 델타함수를 적분귀신 앞에 내놓았다.
적분귀신은 자신의 비장의 무기인 0에서 0까지 정적분을 사용했다.
그러나 delta function은 사라지지 않고 1을 남겼다.
delta function은 정말 대단했다.
특이하게도 0(-0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이되는 것이었다.
순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다.
그러자 1이 사라졌다.
이때 나선 미분귀신은 delta function을 무한번 미분해주기 시작했다.
적분귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도 미분을 통해 계속 delta function의 변종들이 나타나는 것이었다.
적분귀신은 드디어 두손두발, 아니 두 인티그랄(integral)을 다 들고 말았다.
미분귀신과 delta function의 연합전선은 정말 대단했다.
그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에 그들은 사라지고 말았다.
"무슨일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다.
...
...
...
그 거대한 몸짓.
그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는 거의 신적인 존재였다.
그는 바로 '정의(definition)귀신'이었다.
미분귀신과 델타함수가 열심히 ally를 해도 마지막에 정의귀신이 "= 0" 한마디면 끝나는 것이었다.

과연 정의귀신을 대적할 자가 이세상에 존재할른지... 

이어서..

.. 바야흐로 중원의 미분 귀신과 적분 귀신에 의한 전국 시대는 정의 귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다.
정의 귀신의 활약은 대단했다.
정의 귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화 되고, 모든 마을 사람은 정의 귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게 되었다. 그러던 어느날, 정의 귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다.
정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌 듯하게 보이는 마을이었다.

하지만.. 문제는..

마을 사람들이 정의 귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다. -_-;;
그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이 이렇게 무시당하는 것에 정의 귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다.

마침 굉장히 어리버리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다.
정의 귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯, "= 0"을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝 하지않고, 대뜸 이렇게 반문하는 것이었다. "아저씨, 그건 95%의 신뢰 구간에서는 채택될 지 몰라도 저는 유의수준이거든요. 딴 데 가서 알아봐요." 정의 귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다.

무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지 않는 것이었다.
화가난 정의 귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다.
하지만, 그 청년은 정의 귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(Real number)를 만들어내는 것이 아닌가?

정의 귀신은 이해할 수 없었다.
왜 사라지기는 커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가?
정의 귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을 수가 없었다.

청년은 대답했다.
"저는 확률 함수(Probability function)라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건 간에 그에 따른 확률을 계산합니다."
"이럴수가.. -_-;;;"

"이 마을은 '확률과 통계'라는 연합 마을입니다. 이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을 알려주지요."

"그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군. 한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는 것이지?"

"저희가 가진 힘은 시계열이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면 아무 것도 아니기 때문입니다.그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을 갖고 있지요. 시계열 마을 뿐만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는 시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다.
소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는 프랙탈(Fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다."

"..."

역시 세상은 넓다고 했던가..

정의 귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.

질문자가 선택한 답변 
re: 미시경제학과 미분 
 
rlacjftjs195 (2006-04-18 12:27 작성, 2006-04-18 18:25 수정) 
이의제기 | 신고
 
 질문자 평
감사합니다. 
 
오래전 저가 경영학을 전공하다가 ,  사정이 있어 수학으로 전공을 바꿨습니다.

당시에  경제원론에  접하며  어려운 수식 및 곡선이 나와서  이해하기가  매우어려웠습니다.  하여,  교양학부에서 배우는 미적분서적을 구입하여  경제학원론과 병용하여 공부한 결과   수식 내지는 그래프를 분석 할 수있는 지식이 어느정도들자  교과내용은 물론 경제현상을 이해하고  흥미롭게 접근이 되었던 일이 있었습니다.

 

님도 알다싶이 경제학을 공부하는데 수학은 큰 도구가 됩니다.

 경제현상을 수학적 소양이 요구되는 분야는 님이 잘 아실것입니다 만

1. 균형가격 결정모형,  수요 공급곡선  2. 한계효용체감의 법칙  3. 한계효용곡선 및 최적소비..  4. 무차별곡선 5.  한계효용함수. 6. 거미집이론 7 수요함수
 8. 효용극대화 문제 :  재화가  x1, x2,......xn 가 있을 때 효용를 y 라면 y=F( x1, x2,......x n )
재화을 어떻게 선택 해야 효용의 극대화를 얻을 수있는가?
9 가격소비곡선,  수요의 가격탄력성,  10.)생산가능곡선은 항상 위로 볼록이다.

 

저가 알기로는 경제적 용어에서 한계, 내지 접선, 곡선이  위로 볼록 혹은오목,

 비용이 극소, 효용의 극대화 (최대 최소) 등은  미분의 기본적 개념만 알면  쉽게 이해 할 수 있습니다.

 또  선택하는 재화가 한개가 아니고, a ,b, c....중에서 어떻게  선택해야  효용의극대와가 되느냐? 즉 변수가 여러개가 있을시는 편미분 (대학 1년과정)을 아시면 쉾게 이해가 됩니다.

자연과학에서는 미분이나 적분이 모두 중요합니다만  경제학에서는  미분법만 이해래도 큰 어려움이 없을것입니다.

여기서 미분 적분은 이런것이다 해도 이해가 되지못할것입니다.

 미적분은 과학도만의 전유물이 아닌즉  교양을 쌓을겸 이참에  미적분을 공부하는것이 좋을것 같습니다.  기초가 있어서 대학교재를 볼 수있으면 좋지만 그렇지 못하면  먼져 수2

미분편을  공부하는 편이 좋겠습니다. 혼자서 공부하기가 어려우면 주위 고등학교때 수학을 잘했던 친구 에게 도움을 청하세요.  마음 먹고 공부하면  한 2주면 수2 과정과 고교 미적분학  할 수 있을 것입니다.  그 후로는  대학교재를 스스로 보는데  크게 어려움이 없을 것입니다.  이때 스스로 필요하다고 생각될 때는 미분적 구입하여  통독 (너무깊게 공부는 불필요)하시는 것도 님의 학문을 깊게하는 요소가 될것입니다.

그리고 경제학을 공부하는데는 미분적분의 깊은 지식이 필요하나 경영학을 공부하는데 는 높은 수준의 미적분은 그리 필요요하지 않고  대학교양수학 정도 지식이면 충분합니다.참고로 경영학을 이수하는데 필요한 수학은

 1) 미분적분   2) 선형대수 ( 중 행렬, 행렬식 분야)   3)  선형계획법 ,심플렉스법 , 게임이론 

 3) 통계학 ,   4) 해석기하 ( 초보적 내용에 국한)입니다.

  위 내용만 아셔도 경제학 혹은 경영학을 연구하는데 불편하지 않으며 후일 이분야에 더욱  연구를 계속 하는데도 큰 도움이 될것입니다.

그리고 미분적분에 대한 내용은 아래 분이 아주 상세하게 해설했습니다.

그럼.....
 

미분에 관하여
아래는 '미분에관하여.hwp' 파일에서 실제로 발췌한 내용입니다.
 
 
Ⅰ．서 론
수학은 실제적인 문제를 해결하고자 하는 필요성에서 비롯되었다. 미분의 탄생과 그의 쓰임 또한 이에서 벗어나지 않는다. 때문에 미분의 역사발생적 관점에서 그의 발달과정을 살펴보고, 이론적인 개념과 함께 미분의 실제적인 쓰임에 대해 알아보고자 한다.
Ⅱ. 본 론
1. 미적분의 역사
미적분은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 본격적으로 발달되었으나 그 개념은 이미 오래전부터 있어 왔다. 그리스의 아르키메데스(Archmedes)가 포물선의 면적이나 길이 등을 구할 때 착출법을 사용하였는데, 그의 방법에서 미적분 특히 적분법의 발상을 뚜렷이 볼 수 있다.
14세기 중반에 오렘(N.Oresme)은 문제를 시각화 하기 위하여 상황을 그래프로 나타내기 시작하였으며 데카르트보다 먼저 좌표기하를 만들었다. 그는 그래프에서 직선의 길이 또는 직사각형의 넓이는 변수의 값을 나타낸다고 설명하였다. 속도를 직사각형의 높이고, 시간을 직사각형의 밑변으로 표현하는 그래프로 그리고 이 그래프에서 직사각형의 넓이는 그 시간동안 움직인 거리를 나타낸다.
<직사각형의 높이에 의해 표현된 속도>
17세기에 갈릴레오는 자유낙하 하는 물체가 등가속도로 움직인다고 추측하였다. 즉 물체가 등가속도로 움직일 때 같은 시간간격 동안 움직인 거리 사기의 비가 1 : 3 : 5 : 7이 되어 홀수의 수열로 결정되는 비가 계속된다고 생각하였다. 이때
1= {1}^{2}, 1+3 = {2}^{2}, 1+3+5= {3}^{2}, 1+3+5+7= {4}^{2}
이 되어 이러한 수열을 다 더하면 결국 어떤 수의 제곱이 된다. 갈릴레오는 그의 추측을 실험하기 위하여 미끄럼틀을 만들었다. 그림에서 점 사이의 거리는 위의 홀수에 비례한다. 미끄럼틀 위에 공을 굴려서 그 공이 점으로 표시한 곳 사이를 통과하는데 같은 시간이 걸린다는 것을 확인하였다. 갈릴레오의 실험은 각각의 시간간격동안 낙하거리가 일차적으로 증가한다는 것을 보여준다. 이 결과로부터 그는 거리와 시간과의 관계가 이차적이어야 한다고 결론을 내렸다. 오늘날의 미적분의 개념으로 생각하면 일차함수의 적분이 이차함수가 된다는 것을 의미한다.
불가분량이라 불리는 무한소를 이용해서 카발리에리는 곡선아래의 면적을, 케플러는 회전체의 부피를 구하였다. 이 방법은 곡선아래의 면적을 매우 얇은 사각형들로 분할한 후에 그 사각형들을 합하여 원하는 면적을 구하는 것이다. 이러한 생각이 정도의 차이는 있지만 

출처 : 미분 적분 시계열 프랙탈

글쓴이 : meme 원글보기

메모 :