理學산책

오일러의 등식

kongbak 2008. 2. 5. 09:55

오일러의 등식은 1768년에 출판된 레온하르트 오일러의 책 《Introduction》에 수록된 것으로 식은 다음과 같다.

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

0과 1을 드러내기 위한 의도로 다음 꼴로도 쓰인다.

$e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!$

여기서

$i\,\!$ 는 허수단위,

$\pi\,\!$ 는 원주율이다.

[편집] 식의 유도

일반각에서의 오일러의 등식.

이 식은 드무아브르의 공식을 복소수까지 확장된 오일러의 공식의 특수한 경우이다.

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$ (단, x는 임의의 실수)

의 특수한 경우이다.

$x = \pi\,\!$ 를 대입하면 식은,

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$ 이다.

$\cos \pi = -1 \, \!$ 이고, $\sin \pi = 0\,\!$ 이므로

$e^{i \pi} = -1 \,\!$ 이다.

리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"("the most remarkable formula in mathematics")으로 불렀다. 이는 수학에서 가장 중요한 다섯개의 상수와 네 개의 연산이 들어있기 때문이다.

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