천재 수학자들 감탄한 숫자 1729

천재 수학자들 감탄한 숫자 1729

[한겨레] 지난달 동숭아트센터에서 공연중인 연극 <프루프>를 봤다. 이 연극은 수학문제에 대한 증명(Proof)을 두고 벌어지는 천재 수학자(로버트)의 가족 이야기이다.(그림 1) 로버트 : 그렇지. 1년을 52주로 계산하면 33과 4분의 1년은 1729주. 대단한 숫자지. 캐서린 : 두 가지 서로 다른 방법으로 두 수의 세제곱의 합을 표현 할 수 있는 가장 최소의 숫자. 로버트와 캐서린의 대화 중 나타난 수 1729엔 어떤 수학적 의미가 담겨 있는지 살펴 보자. 관찰하고 추측하기 1. 1729는 수학에서 하디-라마누잔 수라고 불린다. 이것은 수학자 하디가 쓴 <어느 수학자의 변명>에서 유래됐다. 어느날 하디가 택시를 타고 병원에 입원한 라마누잔에게 병문안을 갔다. 항상 어색하게 대화를 시작하는 하디는 라마누잔에게 인사도 없이 이렇게 말했다고 한다. “내가 타고 온 택시의 번호가 1729였던 것 같은데, 이 수는 별 의미가 없는 수 같아.” 그러자 라마누잔이 대답했다. “그렇지 않아요, 하디. 이것은 대단히 재미있는 수예요. 두 가지 서로 다른 방법으로 두 수의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있는 수 중 가장 작은 수입니다.” 이것을 수식으로 살펴 보자. 1, 7, 10, 12의 세제곱(세 번 곱한 것)은 각각 1, 729, 1000, 1728이다. 이 수들의 합으로 1729를 나타내어 보라. 1729=1+12, 1729=7+10이다. 따라서 1729는 재미있는 수다. 2. 연극 <프루프>에서 핼(천재 수학자의 수제자)과 캐서린의 대사 중에는 여성 수학자 소피 제르맹과 소피 제르맹 소수가 나온다.(그림 2) 소피 제르맹(1776~1831)은, 당대의 위대한 수학자 가우스와 학문적 친구가 될 정도로 뛰어난 재능을 가진 여성 수학자이다.(그림 3) 원래 소수는 1을 제외하고 오직 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수이다. 소수를 작은 수부터 차례로 나열하면 ‘2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…’이다. 이 소수 중 2를 곱해 1을 더하면 소수가 되는 것을 특별히 소피 제르맹 소수라고 부른다. 1부터 100까지의 자연수 중 소피 제르맹 소수는 몇 개나 될까? 소피 제르맹 소수를 작은 수부터 차례로 나열하면 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89로 모두 10개이다. 현재까지 알려진 가장 큰 소피 제르맹 소수는 7068555×2-1이다. 이것은 2005년 1월 8일 미노빅(Minovic)이 발견한 것으로 36523자리의 수이다. 연극 프루프에서 나오는 수 1729는 소수일까? 이것을 거꾸로 읽은 수 9271도 소수일까? 1729=7×13×19이고 9271=73×127이므로 둘 다 소수가 아니다. 김흥규/서울 광신고 교사heung13@unitel.co.kr