미적분이란

독립변수의 변화에 따른 연속함수의 변화율을 다루는 수리해석학의 한 분야.

영국의 아이작 뉴턴과 독일의 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 미적분학을 발견했다고 인정되고 있다. 이 분야는 뉴턴 지지자들과 라이프니츠 지지자들이 우선권을 놓고 격렬하게 싸웠기 때문에 거의 1세기 동안 발전하지 못했다.

미적분학의 근본 개념은 초기 그리스인이 기하학에서 사용했던 '극한'(極限)의 개념이다. 아르키메데스는 원에 내접하는 등변다각형에서 변의 수를 증가시켜 다각형(넓이를 계산할 수 있는)의 넓이를 극한으로 원의 넓이에 접근시켰다. 외접하는 다각형 넓이도 이와 비슷한 방법으로 구하고, 두 결과를 이용해 원의 넓이를 πr²(r는 원의 반지름, π는 31/7~310/71 값을 갖는 상수)으로 구할 수 있었다. 모양이 불규칙한 판(板)의 넓이도 폭이 같은 직사각형으로 나누어 구할 수 있다. 점점 더 많은 수의 직사각형으로 나누어 직사각형들의 넓이(밑변에 높이를 곱한 값)의 합을 극한으로 보내면 원하는 넓이에 접근한다. 같은 방법으로 구·원뿔, 그리고 다른 입체의 부피를 구할 수 있다. 미적분학은 고대 그리스 시대의 방법으로 구할 수 없는 여러 가지 물체의 넓이·부피 및 기타 다른 양을 체계적이고 정확하게 계산할 수 있는 장점과 중요성을 지닌다.

뉴턴은 나무에서 떨어지는 사과를 보고 영감이 떠올라 미적분학을 발견했다고 전해진다. 떨어지는 사과는 점점 더 빠르게 움직인다. 즉 속도뿐만 아니라 가속도를 갖는다. 뉴턴은 임의의 운동 단계에서는 사과가 증가한 시간 Δt동안 증가한 거리 Δs만큼 떨어진다고 가정하여 수학적으로 나타냈다. 따라서 속도는 거리 Δs를 시간 Δt로 나눈 것, 즉 Δs/Δt와 거의 같다. 정확한 속도 υ는 Δt가 0으로 가까워질 때, 수학적으로 말하면 0으로 수렴할 때 Δs/Δt의 극한이다. 즉,

이다. Δs/Δt는 t에 대한 s의 도함수 또는 t에 대한 s의 변화율이라 한다. ds와 dt는 비율 ds/dt가 υ로 되는 값으로 생각할 수 있다. 이때 ds는 s의 미분, dt는 t의 미분이라 한다.

속도가 시간에 대한 거리의 변화율(또는 도함수)인 것처럼 가속도는 시간에 대한 속도의 변화율(또는 도함수)이다. 따라서 가속도 a는

이다. 이때 Δυ는 시간 Δt 동안 일어난 속도의 증가량이다. a는 υ의 도함수이고 υ는 s의 도함수이므로 a를 s의 2계도함수라 한다. 즉,

이다.

t에 대한 s의 도함수를 구하려면 s가 t에 종속되어 있어야만 한다. 즉 s가 t의 함수로 표시되어야 한다. 대개 이런 함수의 종속성은 s와 t를 관계짓는 식으로 나타낸다. 미적분학에서 도함수를 다루는 분야를 미분학이라 한다. t의 함수인 s가 주어지면 s의 도함수(υ)를 구할 수 있다. 반대로 υ를 알면 거꾸로 계산해서 s를 얻을 수 있다. 이 과정을 υ의 부정적분이라 하며, 방정식 υ=ds/dt를 ds=υdt로 바꾸어 시작한다. s는 ds의 역(逆)도함수로 생각하여 ds=υdt, ∫ds=∫υdt 혹은 s=∫υdt가 된다. 마지막 방정식은 t 대한 υ의 적분s라 한다. 적분을 다루는 미적분학을 적분학이라 하며, 적분학을 사용하여 불규칙한 평면도형을 나눈 직사각형 조각과 같은 작은 양들을 많이 합한 값의 극한을 구한다.