[스크랩] 초끈이론과 M-이론의 미래

초끈이론과 M-이론의 미래

이 글을 통해 우리는 초끈이론의 개요와 발전 과정을

가능한 비전문가를 위한 평이한 용어로서 소개하고자 한다.

우리가 특히 중점을 두는 것은

이론의 개념적인 측면,

현상론적인 측면,

그리고 앞으로의 전망이다.

 

(개 요)

역사를 통해 우리는 물질의 궁극적인 구성입자와

그 입자들간의 상호작용이라는 것이

실은 당시 실험실에서 다룰 수 있는

길이의 짧은 정도에 따라 계속 변해왔다는 것을 알 수 있다.

LEP이나 CERN에서 행해진 놀라울 정도로 정밀한 가속기 실험 결과에 따르면

이른바 페르미스케일 즉 10^-17 미터까지의 정밀도로는 쿼크, 렙톤, 게이지 보존들이

강한 핵력과 전자기 약력을 형성하는 기본 입자들이며

이들은 부피가 없는 점처럼 보인다.

하지만 이보다 훨씬 작은 플랑크스케일 즉 10^-34 미터의 정확도로 보면

물질을 구성하는 궁극적인 단위는 점이 아닌 굵기가 없는 끈이라는 것이

끈이론의 핵심 사항이다.

그 이유는 중력과 관련이 있다.

중력은 고에너지로 가면 점점 강해지면서

양자적인 기술을 요하는데

여태까지 알려진 중력을 양자화하는 유일한 이론은 끈이론이며

이 이론의 기본 구성요소는 바로 스프링과도 같은 끈이기 때문이다.

스프링과 다른 점이 있다면 끈(string)은 플랑크스케일에 해당하는

질량과 장력이 있으며 상대론적으로 움직인다는 것이다.

이 결과 끈은 오직 10차원 시공간에서만 존재할 수 있다.

물질의 궁극 단위를 점이 아닌 끈으로 보고 끈들 사이의 상호작용을 섭동적으로,

따라서 약하게 상호작용하는 끈들에 대해 주로 연구했다는 것이

80년대 끈이론 학계의 주요 동향이었다고 할 수 있겠다.

90년대에 들어 우리는 강하게 상호작용하는 끈들에 대한

비섭동적인 놀라운 결과들을 얻기 시작하였다.

이 중 한 가지는 끈이 물질의 궁극단위라는 것이

실은 또 변할 수 있다는 점이었다.

아래 다시 설명하겠지만 상호작용이 강해지면

끈들은 다시 중력자라 불리는 점과 같은 입자들로 이루어져 있는 것으로 보인다.

무엇보다도 이 중력자들은 끈들이 존제는 10차원이 아닌

이보다 한 차원 높은 11차원에 존제하게 되며

이 늘어난 차원은 바로 플랑크상수 h를 기하학적으로 구현해 준다.

이러한 이론을 현재 우리는 "M-이론"이라 부르고 있다.

요약해 말하면

페르미 스케일까지는 물질의 궁극단위는 점으로 볼 수 있으며

그 이하의 플랑크 스케일에서는 끈이 된다.

하지만 끈들 사이의 상호작용이 강해지면

플랑크 상수는 여분의 일차원으로 변환하며

모든 끈들은 11차원에 사는 두께가 없는 막(membrane)이 된다.

이 막들이 바로 M-이론(M-theory)의 미소 기본 단위이며

이들에 대한 바른 기술방식이 밝혀지는 날

우리는 역사상 처음으로 양자역학과

중력 그리고 시공간 기하를 통일하는 꿈의 이론을 실현하게 된다.

 

 

(시공간,  양자역학 그리고 끈이론)

물질세계에 대한 깊은 이해는 언제나

서로 다른 물리 이론들이 충돌할 때

이를 해결하는 과정에서 얻어졌다.

무엇보다도 이러한 진보는 서로 전혀 달라 보이는 현상들에 대해서

동일한 근본 이유를 밝힘으로서 이루어져 왔으며,

기존 물리 개념들에 대한 혁신적인 변화를 수반해왔다.

이런 예들을 자연의 기본 상수들인

빛의 속도 c,

플랑크 상수 h,

중력상수 G와 연결시켜 살펴보자.

전기장과 자기장에 관한 모순되었던 당시 이론은

맥스웰(Maxwell)로 하여금 전기와 자기를 통합하는

전자기이론을 내놓게 하였으며

이 이론이 갖는 전자기 방정식의 해에는

빛의 속도로 전파하는 전자기파가 있음을 알게 되었다.

하지만 맥스웰의 전자기 이론은

갈릴레이의 상대성 원리와 모순되는 것이었다.

즉 (t, x) ->(t, x-vt)의 갈릴레이 변환에 대해

맥스웰의 전자기 법칙들이 변한다는 것이다.

말하자면 법칙이 법칙이 아닌 셈인데

이는 심각한 문제였다.

곧 로렌츠(Lorentz)는 갈릴레이 변환대신

비선형적인 시간과 공간 좌표를 서로 섞는

이른바 로렌츠 변환을 취하면 맥스웰의 전자기 법칙이 불변임을 알게 되었으나

그 물리적인 의미는 여전히 미궁 속에 있었다.

이러한 문제들에 대한 해결책으로

아인슈타인(Einstein)은 특수상대성 이론을 제창하게 된다.

특수상대성이론에서는 광속불변을 기본 가정으로

시간적 공간적 개념을 재해석하는 과정을 통해

로렌츠 변환을 유도하게 된다.

갈릴레이 상대론에서는 전혀 다른 개념이었던

일차원 시간과 삼차원 공간이 아인슈타인 상대론에서는 합쳐져

4차원의 시공간을 이루며 광속은

이 둘을 연결해주는 불변의 상수로서 이해된다.

즉 Δx=c×Δt. 광속의 크기는 인간의 일상생활의 단위로 보아서는 매우 크기 때문에

실질적으로는 아인슈타인 상대론을 갈릴레이 상대론으로 근사적으로 대체할 수 있다.

고전 역학에서 입자와 파는 근본적으로 다른 개념이다.

예를 들면 입자는 에너지(E)와 운동량(P)을 가짐에 반해

파는 진동수(ω)와 파속(k)을 지닌다.

이러한 차이는 우리의 일상적 관찰 스케일로는 자연스러워 보인다.

하지만 원자나 그 이하의 스케일에서는

그 구분이 모호해진다.

즉 입자의 성질과 파의 성질이 서로 섞여 함께 나타나게 된다.

이러한 "입자와 파의 이중성(particle-wave duality)"이라 칭해지는

이 혼성현상은 입자와 파를 하나의 단위인 양자(quantum)로 통합하여 보게끔 하며

플랑크 상수가 이 둘을 연결해준다.

 

(E,P,e)=h ×(ω,k,1/g) ----- (1)

여기서 플랑크 상수의 값은 h= 6.67&×10^-34 J sec로 주어지며

뉴턴의 고전 역학은 양자의 운동법칙을 기술하는

양자역학(quantum mechanics)으로 대체된다.

위의 입자-파의 이중성 공식 (1)이 포함한 뜻은 

바로 에너지, 운동량, 각운동량

그리고 심지어 전하량(e)마저 양자화 된다는 것이다.

하지만 플랑크 상수는 일상적인 기준으로 볼 때

매우 작기 때문에 이런 입자-파의 이중성을 직접 관측하기란 그리 쉬운 일이 아니다.

이러한 이중성 관계들 중에서 전하량의 양자화는

최근의 게이지 이론에 관한 비섭동적 특징들을 밝혀내는

연구들에 있어 중추적 역할을 하고 있다.

전하량 e는 전자와 전자기장의 상호작용의 크기를 나타내며,

입자와 파의 이중성은 g=h/e라는 크기로 자기단극자(magnetic charge)와

이에 상응하는 대칭 전자기장 (dual electromagnetism)이 상호작용을 함을 말해준다.

자기단극자는 아직까지는 실험을 통해 검출된 바 없는

이론적으로만 존재하는 입자이며,

대칭 전자기장에서는 원래의 전기장과 자기장의 역할이 서로 뒤바뀌게 된다.

입자-파 이중성 공식이 말해주는

또 다른 사실은 강하게 상호작용하는

전자기장 e >>1을 약하게 작용하는

대칭 전자기장 g <<1을 통해 탐구할 수 있다는 점이다.

물론 이의 역도 가능하다.

이러한 아이디어들을 확장하면

우리는 S-양면성이라 불리는

강한 상호작용-약한 상호작용의 이중성을 얻게되는데

이를 통하면 다른 방법으로는 연구하는 것이 불가능하던

게이지 이론의 비섭동적 성질들을 규명할 수 있게되어

새로운 연구 지평을 연 것으로 평가받는다.

맥스웰의 전자기 이론에서는 자기단극자가 존재하지 않으며

따라서 전자-자기단극자 이중성을 가지고 있지 않다.

이를 극복하기 위해 디락(Dirac)은 자기단극자를 도입함으로써

맥스웰의 전자기 이론을 확장하게 된다.

하지만 이 이론의 문제점은 자기단극자가

무한대의 에너지를 가지게 된다는 점이다.

우리는 70년대에 와서야 토프트("t Hooft)와 폴리야코프(Polyakov)로 부터

비가환 게이지이론(non-Abelian gauge theory)에서는

유한한 양의 에너지를 갖는 자기단극자가 있을 수 있다는 것을 알게 된다.

이 발견은 게이지이론에서의 강한 상호작용-약한 상호작용의 이중성을 연구하는

시발점이 되었으며

마침내 끈이론 발전사에 있어

2차 혁명이라고 까지 하는

S-양면성 가설을 태동하게 된다.

아인슈타인은 시간과 공간의 등가 원리를 발견함으로써

뉴턴의 중력이론을 시간과 공간의 기하학적인 문제로 다시 적을 수 있었다.

따라서 아인슈타인의 상대성이론은 중력과 시간과 공간의 기하를 통합했다 할 수 있는데,

구체적으로 중력은 물질이 지닌 에너지와 운동량에 의해 시간과 공간이

휘는 현상으로 해석된다.

단위 에너지당 시간과 공간이 휘는 정도를 나타내는 비례상수는

다름 아닌 중력상수 G로 주어지는데

그 값은 플랑크 질량 M_p와 제곱의 관계에 있으며,

 즉 G=(1/8π²)M_p²,

플랑크 질량의 값은 M_p=2.23×10^-7 kg으로 매우 작다.

지금까지 살펴본 바와 같이 자연의 세 상수, c, h, M_p는

세 가지 통합 이론,

즉 특수상대성 이론, 양자역학 이론, 일반상대성 이론들이

만들어질 때마다 도입되어 왔음을 알 수 있다.

더 나아가 우리는 이들 모두를 통합하는 이론을 생각해 볼 수 있는데

이중 특수상대성 이론과 양자역학 이론이 합쳐져

상대론적 양자장 이론이 탄생하였다.

이 이론의 특성 중 하나는

가상의 입자와 반입자간의 끝없는 생성-소멸로 인해

항상 이론의 계산 결과가 무한대가 된다는 것이다.

 따라서 물리적으로 의미 있는 양들을 계산하기 위해서는

소위 재규격화라는 과정을 거쳐야 하는데

이 재규격화의 가능 여부가 20세기 입자 물리 발전의 핵심적 요소 중 하나였다.

양자역학 이론과 일반상대성 이론의 통합 시도는 양자-중력론이라 불리는

연구 분야를 낳았으나 그리 흡족할 만한 결과를 못 내고 있다.

이러한 실패의 근본적 이유는 양자-중력론이

재규격화가 가능하지 않은 이론이라는 점에 있다.

즉 어떠한 규격화된 따라서 유한한 양의 계산결과 만을 가지는 모델로도

양자-중력론을 얻을 수 없었던 것이다.

일반상대성 이론은 고전적으로는 매우 아름다운 이론이나

양자화 하려는 시도는 항상 처참한 실패로 관철되어 왔던 것이다.

끈이론은 이러한 양자-중력론이 가지는 문제들을 모두 해결해주며,

사실 끈이론은 여태까지의 이론들 중 유일하게 자기 모순이 없이

중력을 양자화시키는 이론이다.

물질의 궁극적인 구성 단위를 끈으로 보고

현상학적으로 달라 보이는 여러 입자들을

끈의 각기 다른 진동으로 해석함으로써

기존의 양자장 이론이 가졌던 무한대의 발산 값들은

끈이론 계산에서는 모두 서로 상쇄하게 되어 나타나지 않게 된다.

 

(오래된 측면: 섭동적 끈이론)

80년대는 누군가 말했듯이 끈이론의 첫 번째 혁명적 시기였다.

이 기간 동안 우리는 끈들이 약하게 상호작용을 할 때는

다섯 가지 형태의 끈이론들이 존재하며

이 다섯 이론들 모두 양자역학과 부합하기 위해서는

끈은 10차원에 존제해야 한다는 것을 알아냈다.

그러나 한편으로는 하나가 아닌 다섯 가지의 끈이론이 존재한다는 사실은

끈이론이 모든 자연현상을 기술하는 궁극의 최종이론이 아닐 수도 있다는

의구심을 불러일으킨 것 또한 사실이다.

두 번째 혁명적 시기인 90년대에 이르면

우리는 끈이론의 여러 비섭동적인 측면들에 대한 이해를 얻게된다.

그리고 이제는 끈들이 강하게 상호작용을 할 경우

다섯 가지의 끈이론 모두 M-이론이라 불리는

하나의 통합된 이론으로 귀결한다고 말할 수 있게 되었다.

여기서는 후의 비섭동 끈이론 또는 M-이론에 대한 고찰에 앞서

다섯 가지 섭동 끈이론들에 대한 대략적 소개를 하기로 한다.

두 끝이 연결된 마치 스프링과도 같은 닫힌 끈(closed string)을 우선 고려해보자.

끈의 운동은

끈의 공간 좌표 σ와

끈의 시간 좌표 τ의

두 변수를 좌표로 갖는 세계면이라 불리는

2차원 공간에서 시간과 공간 상의

끈의 좌표 X(σ,τ)로 가는

함수와 끈의 장력 T=1/l_s²_t로서 기술할 수 있다.

여기서 l_st은 끈이론의 기본 길이 단위이다.

끈의 좌표는 파동방정식을 만족하는데

이를 닫힌 끈에 대해 풀면 닫힌 끈은 오른쪽 진행모드와 왼쪽 진행 모드가

각기 존재함을 알 수 있다.

X(σ,τ)=X_L(τ +σ)+X_R(τ-σ) (2)

끈의 양쪽 끝이 연결되어 있다는 경계조건을 고려하면

각각의 진행 모드는 다시 무한히 많은 진동모드들로 나뉜다는 것을 알 수 있다.

장력과 더불어 질량밀도가 무한대가 되는 l_st->0인 극한을 살펴보면

끈들이 마치 딱딱한 강체처럼 움직인다는 것을 알 수 있다.

이때 남는 운동 형태는

이 강체화 된 끈들의 직선 운동뿐이다.

일반적인 l_st의 값에 대해서는

여러 진동모드들이 함께 할 수 있게 되는데

이 진동모드들은 끈에 각운동량과 1/l_st 단위의 에너지를 더해주게 된다.

따라서 각각의 진동모드를 갖는 끈들은

일정한 질량과 스핀을 갖는 입자들로의 해석이 가능하다.

1. 약하게 상호작용하는 끈들.

 

80년대의 일차 끈이론 혁명기간 동안

우리는 다음과 같이 다섯 가지의 끈이론들을 알아냈다.

(0) 보즈 끈(Bosonic String)

첫 번째로 소개하는 보즈 끈이론은 가장 간단한 이론이며

양쪽 끝이 닫힌 끈과 열린 끈으로 구성되어 있다.

닫힌 끈에는 시계방향 진동 모드들과 반시계 방향 진동 모드가 각기 있으며

열린 끈에는 정상파 형태의 진동 모드가 존재한다.

보즈 끈이론이 양자역학적으로 정합적이기 위해서는

끈들이 26차원에 있을 것을 요구해야 한다.

진동 모드들 중에는 영점 모드에 따라 영의 질량을 갖는 것들이 있는데

닫힌 끈에는 우선 스핀 값이 2인 중력자들이

그리고 열린 끈에는 스핀 값이 1인 게이지 보존이 자리하게 된다.

이 외에 닫힌 끈에는 스핀 0의 딜라톤이라 불리는 입자와

반대칭적 스핀 2의 입자가 중력자와 질량 0인 입자 군에 속해 있다.

다른 모든 높은 진동 모드들은 질량이 1씩 증가하게 된다.

 

이 끈이론은

두 가지 측면에서 불완전한 이론이다.

첫째는 허수의 질량의 타키온을 가진다는 것이고

둘째는 자연의 근본 상호작용을 기술하는데 필수 불가결한

이른바 카이랄 페르미온(chiral fermion)이 없다는 점이다.

이러한 문제들은 시간과 공간의 초대칭성을 도입함으로써 해결될 수 있는데

이를 통하면 우리는 다음의 초끈이론들을 얻게 된다.

(1) ,  IIA형 초끈 (Type IIA Super string)

II형 초끈 이론들(IIA, IIB)은

닫힌 끈을 시간과 공간의 초대칭성을 확장함으로써 얻을 수 있다.

즉 보즈 진동모드 외에 이른바 페르미(fermionic) 진동모드를 도입하여

짝을 이루게 하는 것이다.

 이 초대칭성의 결과 초끈들은 오직 10차원 시공간에만 존재하게 된다.

시계방향과 반시계방향 두 가지 닫힌 끈의 진동모드들에 대하여

우리는 이들의 힐러시티(helicity),

즉 진행방향에 대해 스핀이 같은 방향인지 반대 방향인지를 이야기해 줄 필요가 있다.

시계방향 진동모드와 반시계방향 진동모드가 같은 힐러시티를 갖느냐

반대의 힐러시티를 갖느냐에 따라 두 가지의 독립적인 선택이 가능한데

IIA 초끈은 반대의 힐러시티를 갖는 것으로서 정의되어진다.

 이 결과 NS-NS계열,

즉 반주기 (anti-periodicity) 경계조건을 만족하는

페르미 진동모드에서 중력자,

반대칭적 스핀 2 입자,

딜라톤이 질량 영인 입자로 얻어지며,

R-R계열,

 즉 주기(periodic) 경계조건을 만족하는 페르미온들로부터

홀수개의 시공간 좌표 첨자를 갖는 입자들이 얻어진다.

(2) IIB형 초끈(Type II B Super string).

IIB형 초끈은 닫힌 끈의 시계방향, 반시계방향 두개의 진동모드들이

같은 힐러시티를 갖는 것으로 정의되는데

질량 0인 NS-NS계열은 IIA형과 같으며,

 R-R계열은 짝수개의 시공간 텐서 입자들로 이루어진다.

(3)

(4) E₈×E₈, SO(32)/Z₂ 이형 끈(heterotic string)

 

이형 끈이론은 위의 세 가지 끈이론의 혼합으로 볼 수 있다.

앞서 본 바와 같이 닫힌 끈이론에는 두 가지 진동모드

즉 시계방향과 반시계방향 모드들이 있는데

이들은 독립적으로 움직인다.

따라서 보즈 끈으로부터는 시계방향 진동 모드를 IIA나 IIB형 초끈으로부터는

반시계방향의 진동모드를 가져옴으로서 이형 끈이론이 만들어진다.

결과적으로 이형 끈이론은 IIA, IIB형 초끈 이론들에 비해 절반의 초대칭성을 가진다.

양자역학적으로 정합적인 이론이기 위해서는

게이지 그룹이 E₈×E₈과 SO(32)/Z₂의 두 가지만이 허용된다.

질량 0인 NS-NS계열은 II형과 동일하며

R-R계열은 한 개의 시공간 좌표 첨자를 갖는 입자들로 이루어진다.

(5) Type I 초끈

지금까지 소개한 끈이론들은 모두 닫힌 끈을 다루고 있으나

마지막으로 소개하는 Type I 초끈 이론은 열린 끈에 관한 이론이다.

열린 끈은 시계방향, 반시계방향의 두 개의 독립적인 진동 모드를 갖는

닫힌 끈과는 달리 한 종류의 정상파 형태의 진동 모드를 가지는데

열린 끈의 양쪽 끝에는 Chan-Paton 인자라 불리는 게이지 그룹의 인덱스들을 붙일 수가 있다.

양자역학적으로 SO(32)의 게이지 그룹만이 허용되며

질량 0인 입자 군은 이성 끈이론의 그것과 같은 형태를 띤다.

 

2.  점-입자 극한.

일반적으로 끈의 진동자들 각각은 스핀 J,  질량 M인 입자에 대응한다.

따라서 끈이론은 이러한 무한히 많은 입자와 그 상호작용을 기술하는

장 이론과 동등하다고 할 수 있다.

혹자는 그러므로 끈이론이 무한히 복잡할 수도 있다는 인상을 받을지도 모른다.

하지만 끈이론의 매개변수들의 적절한 극한을 취함으로써

우리는 이러한 문제를 피할 수 있다.

가령 끈의 장력이 무한히 커질 때 끈은 요동을 멈추게 되고

따라서 단순히 점-입자로 취급이 가능하다.

 

끈이론 물리량의 계산에 있어 독립적인 두 개의 섭동전개 매개변수가 있다.

하나는 끈의 장력 T=1/l_s²_t이다.

나머지는 끈들의 상호작용 크기를 나타내는 결합상수 λ_s²_t≡e^2φ로서

여기서 φ는 딜라톤 장의 기대치로 모든 끈이론에 존재한다.

섭동 끈이론에서는 임의의 물리량을 l_st와 결합상수 λ _st를 이용해서 다음과 같이 전개한다:

 이러한 전개는 연속체장 이론에서 나타나는 잘 알려진 두 개의 매개변수에 의한

급수 전개와 거의 유사하다.

즉 양자장 이론의 에 의한 루프(loop) 전개와

무한대의 내부 운동량의 한계를 나타내는

길이 단위의 매개변수 a²=1/Λ²에 의한 전개와 동일한 방식이지만

한가지 차이는 끈이론에서는 무한개의 모든 장의 조합의 결과
 
로 l_st에 대한 전개가 유한해지며

장 이론과 같은 무한대는 완전히 사라지게 된다.

 

따라서 끈의 길이 척도 l_st가 커짐에 따라

기저 진동자 외에 나머지 진동자는 아주 큰 에너지가 필요하게 되어

기저 진동자 만의 역학으로 끈을 효과적으로 기술할 수 있으며

전술한 각종 10차원 초중력 이론들이 그에 해당한다.

 가령 IIA 끈이론의 경우 (3)식에 의하여

질량이 0인 장들이 기술되며

이들은 N=2 초중력 이론에 의하여 기술된다.

이 이론의 두 개의 매개변수 전개는
 
로 주어지며

여기서 생략된 괄호는 l_st 전개의 고차 항들을 나타낸다.

한가지 중요한 사실은 R-R 장과 NS-NS장은 결합 상수의 차수가 위 식 같이 서로 다르며

특히 NS-NS장은 ( λ_{s t}²) ^-1의 차수이며

반면 R-R장은 ( λ_st²)⁰으로 차수가 하나 높다.

 

 

(초끈 현상론과 초끈의 강한 결합)

끈이론이 중력을 포함한 자연의 모든 상호작용을 통합하는가?

한 가지 확실한 점은 끈이론은 이 모든 요소를 다 갖추고 있다는 것이다.

다시 말해서 중력, 충분히 큰 게이지 군, 그리고 이들과 결합하는 카이랄 페르미온 등을

고루 갖추고 있다는 것이다.

그러면 우리가 낮은 에너지 영역의 현상인 전자기약력 현상을 기술함에 있어

끈이론을 고려할 필요가 있는가?

위튼이 지적한 바에 따르면 그럴 필요가 있다는 것이다.

뿐만 아니라 표준 모형을 주는 끈이론은 강한 결합 영역이어야만 한다는 것이다.

그간 E⁸×E⁸군의 이형 끈이론은 낮은 에너지와 낮은 결합에서 현상론에 잘 적용되어 왔다.

구체적으로 4차원 외의 나머지 공간이 6차원 칼라비-야우 다양체 X₆ 모양인

E⁸×E⁸군 이형 끈이론을 고려해 보자.

그러면 그에 따라서 얻어지는 현상론은 다음의 특성을 가진다.

 

(1)  4차원 N=1 초대칭 대통일 이론:

 가장 간단한 대칭성의 변화는

로 주어지며

여기서 괄호 안의 양들은 카이랄 페르미온을 나타낸다.

이 때 E⁶나 SO(10) 부분을 통해 잘 알고 있는 대통일 이론을 구현할 수 있다.

(2) 카이랄 장의 구현

(3) 좌측의 E⁸ 게이지 군을 이용한 초대칭 깨짐 등이 자연스럽게 해결된다.

 

그러나 이러한 모든 것들은 끈의 약한 결합이라는 가정에 기초하고 있는데

이 경우만 끈이론의 자세한 분석이 가능했기 때문이다.

반면 지적된 바와 같이 올바른 대통일 이론을 얻기 위해서는

강한 결합의 영역을 조사해야만 한다는 것인데 이유는 다음과 같다.

나머지 공간이 체적 V₆인 칼라비-야우 다양체 X₆의 모양을 하고 있는

E⁸×E⁸군의 이형 끈이론의 경우 대통일 에너지 척도는 당연히

M_GUT =(V₆)^-1/6          (7)

로 주어지고

이 때, 게이지 결합 상수는

로 주어진다.

반면 사차원의 플랑크 질량은

M_Pl²=V₆M_st⁸/λ_st²                (9)

이므로 대통일 질량 척도와 플랑크 질량의 관계는

이다.

LEP이나 CERN의 실험 결과 M_Pl/M_GUT∼10⁴이므로

10차원 결합 상수는 

λ_st=10⁶α_G²_UT>>1                     (11)  이며,

 

따라서 이형 초끈은 강한 결합 영역에 있게 된다.

그러므로 성공적인 대통일 이론의 구현을 위하여

반드시 강한 결합 영역의 끈이론에 대한 이해가 필요하다는 결론에 도달하게 된다.

 

 

(끈이론의 솔리톤 및 비섭동적 양면성)

어떻게 강하게 결합된 끈이론의 성질을 알 수 있는가?

이 문제는 끈이론 뿐만 아니라 장론의 경우에도 쉽지 않은 문제이다.

왜냐하면 우리는 이러한 문제를 다루는 체계적인 방법이 전혀 없기 때문이다.

통계역학이나 장론의 경우 솔리톤이나

또는 위상 계수 값이 영이 아닌 장의 국소적 분포 등의 양자역학적 조사를 통하여

이러한 강한 결합 영역을 탐구할 수 있는 예가 있기도 하다.

대표적인 예로 입자와 파동의 이중성을 더욱 발전시킨 2차원 아이징 모형 크뢰머-와니에

양면성이 잘 알려져 있다.

제2차 끈이론 혁명은 이러한 방법론을 끈이론에 확대 적용함에서 촉발되었다고 할 수 있다.

이러한 양면성의 요점은 장 이론의 경우

기본 양자와 솔리톤 사이에 서로 교환 대응을 시켜주는 관계가 존재한다는 데 있다.

이러한 대응 관계는 마치 낮은 온도와 높은 온도를 교환하는 아이징 모형의 경우처럼

결합이 약한 영역과 강한 결합 영역의 교환 작용을 동반한다.

그러므로 우리는 초끈 이론의 솔리톤과

그에 수반되는 양면성을 자세히 이해할 필요가 있다.

과연 끈이론의 솔리톤은 무엇인가?

초끈 이론의 낮은 에너지 유효 라그랑지언 (5)에 기초하여

우리는 고전 솔리톤과 양자 솔리톤으로 대별되는 두 종류의 솔리톤이 있음을 보일 수 있다.

첫째 종류의 솔리톤은 NS-NS장 B_μν로부터 생겨나는 것으로 이해할 수 있다.

끈을 우리가 B_μν장의 일종의 전기전하로 이해 할 수 있는 데 반해

이러한 고전 솔리톤은 마치 자기단극자 처럼 자기적인 전하를 가지며

그 자체가 다섯 차원이므로 NS5-브래인이라 부른다.

이 5-브래인은 자기적으로 B_μν에 결합하고

또 G_μν와 φ에 결합하므로

그 전체 에너지는

로 주어진다.

위의 첫째와 둘째 괄호에 있는 양이 각각 인력과 척력으로 작용하는데

이들이 균형을 이룬다.

또한 각 항이 모두 ( λ_st²)^-1에 비례하므로 에너지 밀도는

로 주어진다.

그 제반 특성과 밀도가 결합 상수 의존하는 형태가

비가환 게이지 이론의 자기단극자와 유사하다고 할 수 있다.

그러므로 우리는 이 해답을 고전 솔리톤이라 부른다.

두 번째 이해는 R-R 게이지 장을 발생시키는 전하로 작용하며

이를 D-브래인이라 부른다.

IIA 이론의 경우 짝수 차원의 다차원 면들이

 (IIB 이론의 경우 홀수 차원의 다차원 면) 존재하며

이는 R-R 게이지장 C_p, G_μν와 φ를 동반한다.

따라서 그 에너지 밀도는

로 표현된다.

이 경우에도 슈바르츠 부등식을 사용하면 최소가 되는 에너지 밀도는

가 된다.

앞의 괄호의 고전적 양과 둘째의 양자적 항이 결합하여

D-브래인을 구성하므로 우리는 이를 양자 솔리톤이라 칭한다.

그 중에서도 IIA 이론의 p=0인 경우 뒤의 논의에서 주요한 역할을 하는데

이는 소위 D-입자에 해당한다.

이러한 D-브래인은 전체 반의 초대칭성을 보존하며

이러한 초대칭성에 의하여 그 질량은 양자효과를 모두 고려해도 정확하게 된다.

이러한 솔리톤은 끈이론에서도 비섭동적인 면을 이해하는 데 중요한 역할을 함을 알 수 있다.

결합상수 λ _st가 영으로 접근하는 극한에서는 NS5-브래인이나 D-브래인 공히

끈에 비하여 아주 무거워지므로 이들의 영향은 무시할 수 있게 된다.

그러나 결합상수가 아주 커지면 NS5-브래인이 제일 가볍고 D-브래인이 그 다음이 된다.

이 때에 끈이 가장 무거우므로 따라서 솔리톤들이 모든 물리를 결정하게 된다.

이러한 이중성은 모든 끈이론에 나타난다.

특히 놀랍게도 어떤 이론의 끈이 다른 이론의 D-브래인에 정확히 대응한다는 것이다.

이러한 양면성은 또한 다섯 가지의 서??

달리 보이는 끈이론들이 비섭동적으로는 다르지 않으며

단지 어떠한 단일 이론이 낮은 에너지에서 다른 형태로 표현된 것에 지나지 않는다는 것을 의미한다.

그렇다면 이 근원적 이론은 무엇인가?

 

(10차원에서 11차원으로: 와 시공간의 통합)

어떤 이론의 매개변수가 바뀔 때 무한히 많은 질량이 나타나는 것은

통상적으로 칼루자-클라인 공간 말림 현상과 관련이 있다.

예를 들어 어느 한 방향이 둘레가 2πR의 원이 된

5차원 공간의 질량이 없는 스칼라 장의 운동방정식을 고려하자.

원 위의 푸리에 급수 φ(x)= ∑γ^in2π/Rφ_n(x)로 전개하면

이 때 장 방정식은 다음과 같이 된다:

만약 어떤 관찰자가 R보다 훨씬 세밀한 해상도로

이 시스템을 조사하면

위 식은 질량 M_n=n/R인 무한히 많은 사차원 스칼라 장으로 보이게 된다.

이 때 5차원 원 방향의 운동량은 4차원 질량으로 나타나며

만약 R이 0으로 가는 극한을 고려하면

주어진 에너지에서 오로지 n=0인 상태 외에 나머지는 불필요하게 된다.

반면 R이 무한대로 가는 극한에서는 무한히 많은 질량이 있던 상태들이 질량이 0이 되고

따라서 낮은 에너지 역학에 참가하게 된다.

그러므로 무한히 많은 질량이 없는 상태의 나타남은 숨어 있는 새로운 차원의 존재를 의미한다.

전술한 바 우리가 끈 결합상수 λ_st²을 무한대로 보내는 극한에서

끈이론의 무한히 많은 솔리톤들은 질량이 0으로 근접하게 된다.

이것은 바꾸어 말하면 새로운 차원의 존재를 의미하게 된다.

무엇이 이 새로운 차원의 크기를 결정하는가?

이것은 위의 (12)식의 질량과 솔리톤의 질량을 비교해서 알 수 있으며

정확한 표현은

이다.

이 결과는 참으로 심오하다.

끈의 결합상수 λ_st²는 양자 요동의 크기를 결정하므로 를 동반한다.

그러므로 우리는 양자역학과 시공간을 통합하고 있는 것이다:

다시 말해서 플랑크 상수 가 새로운 차원의 크기로 대체되는 것이다.

또한 11차원의 로렌츠 불변성을 유지하기 위해서는 M_Pl³ 또는 /l_st²은

M-이론의 입장에서 유한해야 함을 의미한다.

이것은 또한 위 11차원의 M-이론은

M2-브래인, M5-브래인 그리고 고전 11차원 중력파를 포함하고 있음을 의미한다.

이리하여 결합이 강해지는 극한에서 IIA 이론은 11차원의 이론으로 바뀌게 되며

이 과정에서 IIA 이론의 32개의 초대칭성은 유지된다.

따라서 M-이론은 11차원 N=1 초중력 이론으로 기술되며

 32개의 초대칭성을 가지며

G_MN과 C_MNP을 포함한다.

물론 이러한 초중력 이론은 M-이론의 낮은 에너지 영역의 근사적 기술일 뿐이다.

좀 더 정확히 말하면

M-이론에 대하여 낮은 에너지 근사를 제외하면

단지 그 존재만 알려져 있다.

 

 

(끈이론과 M-이론의 파톤(parton) 구조에 대하여)

M-이론으로부터 우리가 얻을 수 있는 하나의 교훈은

더 이상 끈이 유일무이한 근본적인 구성요소가 아니라는 점이다.

 M-이론을 통하여 다섯 가지의 끈이론이 나타나며

또한 끈, NS5-브래인 그리고 D-브래인이 서로 교환되기도 하면서

모두가 동등한 중요한 역할을 담당한다.

그러면 무엇이 M-이론이나 끈이론의 가장 근본적인 구성요소인가?

우선 D0-브래인은 M-이론과 두 가지 특성으로 연결되어 있다.

 

첫째 11차원 중력자가 말린 차원 방향으로의 운동량은

정확히 D0-브래인의 질량에 해당한다.

둘째 그 질량은 λ_st가 무한대로 가면 영이 된다는 점인데

이 때 R 은 무한대로 된다.

 이러한 두 가지 관찰을 결합하면 E_N=P_N=N/R 는

N개의 D0-브래인의 전체 질량으로 해석된다.

우리는 다음의 사고 실험을 통하여

강하게 결합된 IIA 이론의 파톤 구조를 결정할 수 있게 된다.

물론 강한 결합을 하는 끈들의 성질을 파악하는 것은

쉽지 않은 일임에 틀림이 없다.

이러한 끈들은 상대론적으로 요동을 하게 되는데

그러므로 이들 끈의 어떤 순간의 모양은 제멋대로 구부러진 모양을 하게 된다.

이러한 끈을 말린 11차원 방향으로 로렌츠 부스트(Lorentz boost)를 생각해 보자.

그러면 상대론적 시간 팽창 효과에 의하여 이러한 요동은 점차로 느려지게 되며

결국 무한한 부스트에 의하여 이러한 요동들은 없어지게 된다.

이러한 부스트는 끈이 말린 11차원 방향으로 운동량을 증가시키므로

이러한 끈들은 반드시 많은 D0-브래인을 포함해야 한다:

E =P =N/R -> ∞ (14)

결국 이러한 D0-브래인의 수가 무한히 많아지므로

이러한 D0-브래인이 끈 자체도 대체하고

따라서 D0-브래인이 끈을 구성하는 파톤으로 해석함이 가능하다.

그러면 NS나 RR 솔리톤은 어떻게 되는가?

놀랍게도 약간의 자세한 조사가 필요하지만

이러한 솔리톤들이 D0-브래인들의 결합 상태로 만들어짐이 판명되었다.

이러한 파톤들의 역학은 무한대의 운동량을 가지는 계에서 간단한 모양을 가지는데

구체적으로 해밀토니안은
 

인데,

여기서 X_i는 헤르미션 (Hermitian) N×N 행렬이며

P_i는 그에 대응하는 정준 운동량이다.

기저 상태는 [X_i, X_j]=0에 의하여 결정되므로

모든 X_i를 동시에 대각화시킬 수 있으며

그 고유치는 각 D0-파톤의 위치를 나타낸다.

이러한 D0-파톤은 결합하기도 하고 서로 분리되기도 하고 군을 이루기도 하면서

새로운 방식의 D0-브래인의 제2차 양자화 (second quantization)가 자연스럽게 얻어진다.

이 물리 계는 11차원의 로렌츠 공변성은 분명하지 않지만

M-이론의 비섭동적 정의로도 받아들여지고 있다.

그 중 가장 중요한 특징은 시공간이 행렬로 더 이상 교환 가능하지 않으며

양밀즈 이론과도 아주 직접적으로 연결된다는 점이다.

더구나 시공간이나 시공간 기하는 더 이상 근본적인 개념이 아니며

비가환 행렬 게이지이론의 기저 상태라는 특별한 경우만 유효한 개념이라는 점이

특기할만 하다.

 

 

(끈이론과 M-이론의 제 문제)

끈이론의 가장 중요한 특성은

중력과 양자역학, 중력과 게이지장 이론과의 자연스러운 통합이다.

물론 이러한 통합이 가능한 이론이 끈이론 이외에 어떠한 이론들이 있는지

현재로서는 명확하지 않다.

그렇다면, 끈이론이 앞으로 풀어야 할 중요한 기본문제들은 무엇인가?

(1) 중력의 양자동역학.

초끈이론은 현존하는 유일한 양자중력 이론이다.

즉, 양자역학 이론과 아인슈타인의 일반상대성 이론을

내부 모순 없이 결합시키는 유일한 방법이다.

이는 초끈이 점-입자가 아니라,

고유 크기를 가지는 확장자라는 사실에서부터 기인한다.

그러나, 보다 근원적인 성질은 초끈의 무한한 진동 스펙트럼이

제멋대로 구성된 것이 아니라,

엄밀한 내부 대칭성에 따라 분포하고 있다는 사실이다.

 M-이론이 끈이론의 강한 결합영역을 간결히 표현함은,

양자현상을 새로운 각도에서 이해할 것을 요구하고 있다.

 

M-이론의 가장 중요한 특성은

상기한 바와 같이 10차원 고전시공간과

양자결합 상수를 통합하여

새로운 11차원의 시공간으로 재구성하고 있음이다.

이러한 관점이 흥미로운 기하학적 심미성을 제공할 뿐 아니라

동시에 전통적인 섭동전개 이론이 M-이론에서는 성립하지 않아,

근사적인 접근 방법이 불가능하다는 어려움을 동시에 내포하고 있다.

따라서, 우리는 파인만이 오래 전에 던졌던 질문

"정말 중력에 양자현상이 존재하는가?

존재한다면 왜 결합상수가 없는가?"라는

근원적인 문제로 되돌아가야 할지 모를 일이다.

(2) 중력과 게이지 상호작용.

초끈이론은 다양한 방법으로 게이지 상호작용을 생성할 수 있다.

가장 전통적인 것은 찬-패톤 방법에 따라,

열린끈 사이의 연결과 분리를 통한 방법이다.

이러한, 열린끈은 앞서 설명한 D-브래인들의

여기상태를 약한-상호작용 영역에서 효율적으로 기술할 수 있는 방법으로 알려져 있다.

강한-상호작용 영역에서는 초끈의 양면성에 기인하여,

새로운 방법으로 기술할 수 있는데,

 D-브래인들과 열린끈은 모두 비대칭 닫힌끈으로 재구성되는 놀랄만한 특성을 발휘한다.

이 양면성이 다른 초끈 사이의 양면성에 비하여

심도 있게 규명되어야 함은 바로 끈의 닫힘과 열림,

그리고 끈 진동의 방향성 사이에 밀접한 관련이 있음을 시사하기 때문이다.

즉, 이러한 개념들은 절대성을 가지지 않고,

양자결합 상수의 크기에 따라 달리 구현될 뿐이다.

도대체,

초끈의 어떤 근본적 특성이 이러한 결과를 도출시키는가?

 

이의 규명에 한가지 암시를 제공하는 초끈의 상이한 특이성은

소위 "충돌방향 양면성"이다.

점-입자의 경우,

전통적인 파인만 도형에 따른 섭동전개는,

쿨롱-충돌과 같은 비낌-충돌과

입자의 생성-소멸에 기인하는 정면-충돌은

전혀 다른 물리적 과정으로 기술된다.

 그러나, 초끈이론에서는,

초끈의 확장자 성질에 기인하여,

이들을 동일한 과정으로 간주한다.

이 "충돌방향 양면성"의 특수한 경우가

바로 열린끈의 양자섭동 전개를

닫힌끈의 배경장 전개와 동일시 간주하는 것이다.

이에 따르면,

닫힌끈의 존재와 동역학은 모두 열린끈으로부터 이해할 수 있으며,

따라서 열린끈을 초끈의 기본단위로 다루어야 함을 암시하고 있다.

정확히 어떤 동역학에 의거하여

이러한 관계가 성립하는지 이해함은

중력에 대한 전혀 새로운 관점과 이해를 제공할 것으로 기대된다.

(3) 끈의 미시구조.

초끈의 구조에 절대성이 없음은

전술한 "열린끈-닫힌끈 양면성"과

M-이론의 기원으로부터 쉽게 이해할 수 있다.

따라서, 초끈의 기본구조를 규명하려는 노력은,

어떠한 동역학 영역에서 초끈의 운동이

가장 간결히 기술되는지를 조사하는 중요한 과정을 거쳐야 할 것이다.

가장 중요한 현안은 양자역학과 중력 중 어떤 것을

보다 근원적인 물리법칙으로 다루겠는가라는 질문이다.

중력을 근원적으로 다루려는 관점은 M-이론이며,

이에 따르면,

양자현상이란 11차원의 고전 시공간을 인위적으로 10차원 시공간과

1차원 결합상수로 재해석하는 과정에서 나타난다는 것이다.

또, 초끈이론에 따르면,

중력은 게이지이론의 동역학에서 나오는 부수적인 상호작용이다.

과연 어떠한 관점이 결국 맞는 해석인지 이론적 접근에 의하여 조사해야할 시점에 있다.

(4) 우주의 기원과 진화.

우주의 기원과 진화는 고전 중력의 대표적인 강한 배경장 비섭동현상이다.

아인슈타인의 상대성이론에 따르면,

프리드만-로버터슨-워커의 균일 우주론은 3가지의 상이한 종류로 나타난다.

-- 닫힌 우주,

-- 평평한 우주,

-- 열린 우주.

왜 아인슈타인의 일반상대성 이론과 같이 완벽한 듯한 이론이

유일한 해답을 제공하지 못하고 3가지 다른 가능성을 제시하는지,

현재까지 전혀 이해되지 못하였던 부분이다.

또한, 우주의 대폭발은 왜 일어났으며,

이 당시의 물리현상을 기술하는 가장 적합한 방법론은 무엇인지

역시 미해결 문제이다.

현재, 유일한 양자-중력 이론으로서의

초끈이론은 이들 질문에 대한 보다 훌륭한 대답을 제공할 것으로 기대된다.

특히, 우주론에 적용되어 홀로그램 원리가 일반상대성 이론에 덧붙여

새로운 법칙으로 자리잡을 것인지는 아주 흥미로운 내용이다.

그리고, 인플레이션 우주론,

대폭발 우주론을 대치시킬 새로운 우주론이 있는지,

있다면 초끈이론과 어떤 관련이 있는지 알아보는 것

역시 앞으로 해결해야 할 문제들이다.

출처 : 앎의 즐거움

글쓴이 : 행복한삶 원글보기

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