41. 아리스토텔레스의 바퀴역설

 

41. 아리스토텔레스의 바퀴역설

  그리스 시대의 책 Mechanica에 아리스토텔레스(Aristoteles)의 것으로 다음과 같은 역설이 실려 있다고 한다.

아래 그림에서 보듯, 큰 원과 거기에 붙어있는 작은 원을 동시에 굴리면, 둘 다 똑같은 거리를 움직이게 되어 두 원의 원둘레의 길이가 같아지는 엽기적인 결과가 나온다는 것이 그 내용이다.

  물론 말도 안 되는 결과다. 하지만 왜 이런 이상한 일이 생길까?

착각(?)의 원인은 일대일 대응 때문이다. 오른쪽 그림에서처럼 분명히 두 원 위의 점들이 일대일 대응을 하긴 하지만, 그렇다고 해서 두 원둘레의 길이가 같지는 않다. 즉, 길이라는 것은 점의 개수(농도)와는 상관이 없다.

  다시 말해, 작은 원의 원둘레와 빨간색 선이 일대일 대응하는 것 때문에 마치 그 둘의 길이까지 같아야 하는 것으로 착각하게된다는 것이다.

  그럼, 작은 원은 도대체 어떻게 움직이는 것일까? 작은 원이 미끄러지지 않고 굴러가면 원둘레와 빨간색 선의 길이가 같을 테니, 당연히 작은 원이 미끄러지며 굴러간다는 것을 알 수 있다.

실제로 작은 원은 회전 속도에 비해 진행 속도가 빠르다. 정말로 미끄러져 나가는 것이다.

이런 걸 직관적으로 느끼려면 원 위의 한 점이 그리는 자취를 생각하는 게 쉬울 것이다. 아래의 그림을 보고 머릿속에서 원을 굴려 보자.

  큰 원 위의 한 점이 그리는 자취인 사이클로이드(cycloid)와는 달리, 작은 원 위의 한 점은 미끄러지듯 앞으로 나가면서 매끈한 곡선을 그린다. 하이포트로코이드(hypotrochoid)라고 불리는 이 곡선은 작은 원이 그리게 되는 사이클로이드를 당겨서 늘인 꼴이다. 왼쪽의 두 원에서, 원이 구르기 시작하면서 작은 원 위의 빨간 점이 휙 앞으로 나가는 것을 볼 수 있다. 참고로 R<r 인 트로코이드를 에피트로코이드(epitrochoid)라고 한다.

  하이포트로코이드와는 반대로 작은 원이 미끄러지지 않고 굴러갈 때 큰 원 위의 한 점이 그리는 자취다.

42. 자전거와 수학

  우리는 자전거에서 수학을 알 수 있다. 뒷바퀴의 반지름을 a, 뒷바퀴의 톱니바퀴 반지름을b, 체인톱니바퀴의 반지름을 c라 하면 움직인 거리를 알 수 있다. 패달을 한바퀴 돌린다면 뒷바퀴가 지면으로부터 움직인 거리는 가 된다. 10바퀴 돌린다면 이 움직이게 된다. 하지만 우리가 자전거를 탈 때에는 계산보다 더 많이 움직이게 된다. 그 이유는 관성이다. 패달을 구름으로 인해 생긴 뒷바퀴의 움직임이 계속하여 움직이려고 하기 때문이다. 위 식이 만족하기 위해서는 마찰력이 아주 큰 데에서 자전거를 탄다면 가능할거라 생각한다. 그럼으로 진흙밭에서 자전거를 탄다면 저 위의 식으로 패달을 굴린 횟수로 움직인 거리를 계산할 수 있다.

 가. 자전거의 원리

  시내에서 학교까지 자전거로 4km정도의 거리를 자전거로 통학하는데 약 30분 정도의 시간이 소요됩니다. 신호등과 기타 등의 정지하고 있는 시간을 빼고서 평균 20km정도의 속도로 달리고 장애물이 없고 자전거 전용도로에서 달리 때는 최고가  약 36km/h 정도 인 것으로 계산되었습니다. 이것은 100m를 10초로 달릴 때와 맞먹는 속력입니다.

자전거는 체인으로 연결된 두 개의 바퀴가 시원한 공기를 가르며 달려간다. 모든 동력 기계의 기본 원리를 담고 있다는 자전거. 회전축, 기어, 페달, 바큇살, 바퀴, 핸들의 역할을 살펴봅니다.

  초기의 자전거는 앞바퀴는 기형적으로 크고 뒷바퀴는 작았다. 이것은 '오디너리(Ordinary)' 또는 '큰바퀴 자전거(High wheeler)'로 불렸다. 이 자전거에는 페달이 앞바퀴에 직접 붙어 있어서 바퀴가 클수록 더 멀리 나갈 수 있었다. 그 당시 한 자전거는 페달이 한번 왕복할 동안 약 3.556m를 진행할 수 있었다.

  이런 자전거는 언덕을 오를 때는 엄청난 힘이 들지만 평지에서는 대단한 속력을 낼 수 있었다. 큰바퀴 자전거가 효율이 높았던 것이 사실이지만 그만큼 위험했다. 왜냐하면 자전거를 탄 사람들은 지면으로부터 높이 떨어져 있어서 무게 중심이 높았기 때문이다. 따라서 사고가 발생하면 그 만큼 위험도 컸고 조그만 장애물에도 쉽게 넘어지는 문제점을 안고 있었다.

  그러던 중 1885년 경 영국에서 스탈리라는 사람이 '방랑자'라고 이름 붙인 자전거를 개발했다. 이는 두 바퀴의 크기가 거의 비슷하고 체인 동력전달 장치를 쓴 것이었다. 오늘날의 자전거 형태와 유사한 것으로 '큰바퀴 자전거'에 비해 월등히 안정적이어서 '안전 자전거'라고 불렸다. 그 후로 지금까지 변속 기어, 경량 구조, 브레이크 장치, 공기압 타이어 등이 계속 발전돼 왔지만 자전거의 기본적인 모양은 스탈리가 만든 자전거의 형태를 유지하고 있다.