매듭이론과 DNA 복제

매듭이론과 DNA 복제 [한국일보 공동] 수학으로 세상 읽기 (5)

▲ 박경미 교수  ⓒ [박경미 홍익대 수학과 교수] 고대 도시 고르디온에는 수레에 묶인 밧줄의 매듭을 푸는 사람이 세상의 지도자가 된다는 전설이 전해 내려왔다. 많은 사람들이 이 매듭을 풀고자 시도했으나 성공하지 못했다. 마침 알렉산더 대왕이 원정을 가다가 고르디온에 들려 단칼에 끊어버리는 방법으로 이 매듭을 풀고는 고대 오리엔트를 통일했다고 한다. ‘고리디온의 매듭’ 이야기는 문제를 간단명료하게 생각을 해야 오히려 쉽게 풀린다는 쾌도난마(快刀亂麻)의 메시지를 전한다. 또 이 이야기는 매듭을 푸는 일이 생각처럼 단순하지 않다는 것을 암시하기도 한다. 수학에는 ‘매듭이론’이라는 분야가 있다. 매듭이론에서는 하나의 매듭을 끊지 않고 매끄럽게 움직여서 다른 매듭으로 바꿀 수 있을 때, 같은 종류의 매듭이라고 한다. 따라서 모양이 달라도 매듭이론의 관점에서는 같은 종류의 매듭이 될 수 있다. 매듭이론의 중요한 과제 중의 하나 매듭의 종류를 분류하는 것으로 수학자들은 이를 위해 많은 노력을 기울여 왔다. 매듭을 분류하는 기준 중의 하나는 '교차점'의 개수이다. 교차점이 없는 고리와 같은 모양은 '영매듭'이라 한다. 어린 시절 즐겨하던 실뜨기에서 하나의 모양을 다른 모양으로 바꿀 수 있지만, 수학적으로 볼 때에는 모두 영매듭이다. ▲ 세잎매듭  ⓒ 교차점이 3개인 ‘세잎매듭’은 그림과 같이 두 종류가 있는데, 이 둘은 서로를 거울에 비춘 모양을 하고 있다. 세잎클로버 모양으로 된 이 세잎매듭은 자르고 붙이는 과정을 거치지 않고는 다른 세잎매듭으로 바꿀 수 없기 때문에 비슷해 보이지만 서로 다른 종류의 매듭이다. 19세기 말 영국의 수학자 테이트와 리틀은 교차점의 수가 10개 이하인 매듭을 거의 분류해냈다. 매듭의 종류는 교차점의 수가 증가함에 따라 크게 증가하는데, 교차점 수가 9개인 매듭은 수십 가지이고, 10개인 매듭은 수백 가지가 된다. 최근에는 교차점이 16개 이하인 매듭을 1,701,936가지로 구분하고 있다. 매듭이론은 물리학의 양자장 이론과 깊은 관련이 있으며, 암호시스템 기술을 개발하는데 이용되고, DNA 복제 과정을 밝히는 데에도 활용된다. DNA는 이중나선으로 되어 있으면서 전체적으로 원 모양을 이룬다. 이 때 DNA는 그 자체의 장력으로 인해 원 상태를 유지하지 못하고 꼬여서 뭉치게 되는데, 나선으로 된 전화 수화기 선이 서로 꼬여 뭉쳐있는 것을 연상하면 될 것이다. DNA가 복제를 할 때에는 이중나선이 분리되어야 하기 때문에 꼬인 DNA를 풀어야 한다. 이런 역할을 하는 것이 효소이다. 효소는 DNA의 적당한 부분을 끊고 복제가 끝난 후에는 다시 잇는 역할을 한다. 이 과정에서 효소는 최적 지점을 선택하여 최소한의 회수로 꼬인 이중나선을 끊는데, 매듭이론은 이러한 과정을 규명하는데 유용한 정보를 제공한다. 동서고금을 막론하고 매듭은 실용적 목적으로 또 심미적 목적으로 이용되어 왔다. 물건을 포장하기 위해 끈으로 매듭을 짓기도 하고, 매듭을 연결하여 아름다운 장식물을 만들기도 한다. 그런데 이 매듭조차도 수학적 탐구의 대상이 된다니 수학의 연구 분야는 참으로 광범위한 것 같다.

2004.05.23 22:11

	2004.05.21 ⓒScience Times

놀랍네.. 매듭도 수학적 탐구의 대상이 될 수 있다니, 또 그게 지금껏 많이 탐구되어 왔다니..

수학을 정말이지 못했던 나로서는 경이로울 수 밖에 없구먼~

양자장 이론은 뭘까?

양자역학 [量子力學, quantum mechanics]

요약 양자론의 기초를 이루는 물리학이론의 체계. 본문 M.플랑크의 양자가설을 계기로 하여 등장한 전기양자론(前期量子論)의 결함을 극복하여 E.슈뢰딩거, W.K.하이젠베르크, P.A.M.디랙 등에 의하여 건설된 이론이다. 원자 ·분자 ·소립자(素粒子) 등의 미시적 대상에 적용되는 역학으로서 현재 가장 타당성을 지닌 이론체계로 간주된다. 그러나 거시적 현상에 보편적으로 적용되는 뉴턴역학적 자연관에서 볼 때, 그 자연파악 양식에는 이해할 수 없는 문제가 내포되어 있으므로, 양자역학적 자연관을 둘러싸고 여러 가지 논의가 있었다. 물론 양자역학에서도 그 기본은 대상으로 되는 계(系)의 상태 및 시간적 변화의 법칙을 구하는 데 있으나, 어떤 종류의 상태량은 이산성(離散性)을 가지며 그 변화과정이 비연속성일 뿐만 아니라, 동일 대상에 대하여 배타적(排他的) 관계에 있는 2개의 물리량이 존재하고, 같은 대상에 대하여 이들 물리량들을 동시에 엄밀히 확정할 수 없는 상황이 있을 수 있다는 등 고전역학과는 두드러진 대립을 나타낸다. 고전역학에서는 연속성과 대상에 대한 두 종류 이상의 물리량을 측정할 수 있다는 양립성(兩立性)이 보증되어 있으나, 양자역학에서는 일정한 상태에서 어떤 양을 측정하여도 일정한 값이 얻어진다고 할 수 없고, 단지 같은 상태에서 같은 측정을 많이 되풀이할 때 일정한 값이 얻어지는 확률이 나타날 뿐이다. 즉 고전역학과 달리 양자역학은 본질적으로 확률적이다. 이런 의미에서 양자역학에서의 결정론적 인과율(因果律) 부정에 대한 해석을 둘러싸고 일부의 물리학자나 철학자 사이에 논의가 일어나고 혼란이 생겼다. 그러나 이론 그 자체는 미시적 세계를 지배하는 법칙으로서 발전을 이루었고, 원자 ·분자의 구조나 물질의 물리적 ·화학적 성질을 해명하는 분야에서 성과를 거두었으며, 물성물리학(物性物理學)의 급속한 발전을 가져오게 하는 이론적 무기가 되었다. 이 영역에서 큰 발전을 보이고 있는 것은 전자집단에 페르미-디랙통계를 적용한 고체의 양자역학적 이론이고, 이것에 의하여 이를테면 전도체와 부도체의 본질적 구별이 이루어짐과 동시에 반도체의 특성을 해명하는 근대산업기술과 직결되는 성과를 거두었다. 또 고분자의 성질, 생체고분자의 기능에 관한 양자역학적 해명 등 신분야에 대한 기대도 크다. 한편 이론 그 자체는 상대성이론의 요구를 만족하는 형식으로 정비하는 시도가 행하여지고 양자전기역학(量子電氣力學)이나 중간자론(中間子論) 등의 모양으로 구체적인 성과가 얻어진 이외에, 장(場)의 양자론의 일반형식 등에도 발전을 보이고 있다. 그러나 그것과 동시에 이론의 내부모순도 지적되었고, 특히 소립자이론의 발전 속에서 이 이론을 하나의 근사로서 내포하는 새로운 이론의 탄생이 기대되고 있다.